2、平面几何基础：线、线段、长度、距离与角度的奥秘

平面几何基础：线、线段、长度、距离与角度的奥秘

1. 线与线段的基本概念

1.1 平面与线的定义

平面由点构成，我们用大写希腊字母（如 A、B、Γ 等）来表示点。平面中最简单的形状之一是线，用小写希腊字母（如 ε、ζ 等）表示。线具有以下初始性质（公理）：
- 公理 1.1 ：两个不同的点 A、B 恰好确定一条线，记为 AB。
- 公理 1.2 ：每条线包含无限多个点。对于每条线，都有无限多个点不属于该线。对于每个点，都有无限多条线不经过该点。
- 公理 1.3 ：每条线将平面分成两部分，称为半平面，它们与该线没有公共点。如果一条线 ε′ 上的两个点 A 和 B 位于线 ε 的不同半平面内，那么 ε′ 与 ε 相交（下面的第一个定理表明存在且仅存在一个交点）。我们常说线的“边”，指的就是由它定义的两个半平面之一。
- 公理 1.4 ：线 ε 上的两个点 A、B 确定一个线段，也记为 AB。AB 由 A、B 以及 A 和 B 之间的所有点组成。A 和 B 称为线段的端点。线段上除端点外的点称为线段的内点，所有内点的集合称为线段的内部。直线 AB 上不属于线段 AB 的点称为线段的外点。
- 公理 1.5 ：如果两个点 A 和 B 属于由线 ε 定义的同一个半平面，那么线段 AB 的所有点都包含在同一个半平面内。如果点 A 和 B 属于由线 ε 定义的不同半平面，那么线 ε 与直线 AB 的交点 E 位于点 A 和 B 之间。

1.2 线与线