2、同心管机器人的手术轨迹跟踪

同心管机器人的手术轨迹跟踪

1. 弗雷歇距离与运动规划问题

弗雷歇距离可直观地通过一个类比来解释：一条被拴着的狗沿着一条路径行走，而它的主人沿着另一条路径行走，两者分别有独立的速度参数化α和β。在这种情况下，弗雷歇距离就是保证两者始终相连所需的最短拴绳长度，前提是狗和主人都选择了最优的α和β值。

对于外科手术任务（如组织操作）的运动规划，必须尊重医生的意图，具体体现在两个方面：
- 最小化机器人末端在每个时间点与指定路径的偏差。
- 确保沿着两条路径的连续点按相同顺序遍历，即遵循路径的“流向”。

由于弗雷歇距离能同时满足这两个目标，因此它为我们的领域提供了一个出色的优化标准。

机器人的运动规划是在C - 空间（机器人所有可能配置的集合）中进行的。每个配置是一个d维的点，它唯一地定义了机器人的形状。机器人的任务空间则定义为其所有可能的末端执行器位置的空间。我们使用正向运动学（FK）算子将C - 空间中的点映射到任务空间中的点，使用逆向运动学（IK）算子进行反向映射。

对于同心管机器人（CTR），一个配置必须描述每个单独管子的平移ℓi和旋转θi。因此，对于由k个管子（通常为3或4个）组成的CTR，每个配置是一个长度为2k的元组q = (ℓ1, θ1, …, ℓk, θk)。我们将机器人的任务空间定义为其末端的R3位置，这对于许多手术（如热切割或激光切割）来说已经足够。不过，我们的规划器也可以轻松用于考虑末端方向的其他任务空间定义。

在我们的设定中，医生在任务空间中指定一条参考路径R，它是一系列R3路点。设Γ表示无碰撞的C - 空间路径集合，F : R3 × R3 → R表示两个任务空间路径之间的离散弗雷歇