33、最优广义稳定分配与无环哈密顿路径补全问题解析

最优广义稳定分配与无环哈密顿路径补全问题解析

在图论和组合优化领域，有两个重要的问题值得深入探讨，分别是最优广义稳定分配问题和无环哈密顿路径补全问题。下面将详细介绍这两个问题的相关内容。

最优广义稳定分配问题

在二分图分配实例中，如果边都关联着成本，我们可以考虑最优广义稳定分配问题，即在所有稳定分配中，找到总成本最小的那个分配。这个问题被证明是NP - 难的，这与稳定匹配和稳定分配问题的“最优”变体形成了鲜明对比，因为后两者可以在多项式时间内解决。

• 问题证明思路 ：通过从著名的NP - 完全问题——子集和问题进行归约来证明该问题的NP - 难性。子集和问题的输入是一组正数$s_1, \cdots, s_n$和一个目标值$T$，询问是否存在一个子集$S \subseteq {1, \cdots, n}$，使得$\sum_{i \in S} s_i = T$。
• 构造实例$I’$ ：
  • 构建一个二分分配图，每侧有$2n + 2$个元素，由$n$个“增益”组件$C_1, \cdots, C_n$和一个“损失”组件$C_0$组成。
  • 对于每个增益组件$C_i$，有两个作业$a_i$和$b_i$以及两个机器$a_i’$和$b_i’$。偏好列表按特定方式设置，边的乘数分别为$\mu(a_i, a_i’) = \frac{2}{1 - 2s_i}$，$\mu(b_i, b_i’) = \frac{1}{2}$，$\mu(a_i, b_i’) = \mu(b_i, a_i’) = 1$。
  • 损失组件$C_