29、带加权度约束的网络设计

带加权度约束的网络设计

1. 引言

在网络设计问题中，加权度约束是一个重要的研究方向。此前已有不少学者对相关问题展开研究，如Bansal等人考虑了具有相交超模连通性的树形图问题和可生存网络问题；Kiraly等人将有界度生成树推广到有界度拟阵，并研究了度有界的子模流问题。

对于带加权度约束的网络设计问题，已有一些成果。Ravi针对WDBoundedTree问题给出了O(log |V |, log |V |)近似算法，对MinimumWDTree问题给出了O(log |V |)近似算法。Ghodsi等人在图为完全图且成本满足三角不等式的假设下，对MinimumWDTree问题给出了4.5近似算法，同时证明了该问题难以在小于2的因子内近似。而本文提出的算法在E2 = ∅时，对WDBoundedTree问题达到(1, 4)近似，对MinimumWDTree问题达到4近似，改进了之前的工作。Nutov则考虑了有向图的WDBoundedNetwork问题。

2. 带加权度约束的生成树

2.1 问题推广

将WDBoundedTree问题进行推广，定义b为一个从子集A（A ⊆ V）到正有理数集Q+的函数，即度上限仅在A中的顶点上定义，这对算法的归纳执行是必要的。

设I为WDBoundedTree问题的一个实例，包含无向图G = (V, E)（E = E1 ∪ E2），权重w1 : E1 × V → Q+和μ : E2 → Q+，V的子集A，以及b : A → Q+。用PT(I)表示由满足以下条件的向量x ∈ QE和y ∈ QE2×V组成的多面体：
- (0 ≤ x(e))，对于所有(e ∈ E)；
- (0