21、平面图形三角剖分生成全解算法解析

平面图形三角剖分生成全解算法解析

在图形处理和计算几何领域，平面图形的三角剖分是一个重要的问题。本文将详细介绍如何生成平面图形的所有三角剖分，涵盖了从根三角剖分的寻找，到整个算法的实现，以及凸多边形带标签三角剖分的相关内容。

1. 基本概念

• 生成对角线 ：对于一个凸多边形 $P$ 的三角剖分 $T$，能通过翻转生成 $P$ 新三角剖分的对角线称为 $T$ 的生成对角线，其集合称为生成集。
• 根三角剖分 ：对于一个 $n$ 顶点的三连通平面图 $G$，其家谱树 $T(G)$ 的根三角剖分 $T_R$ 的寻找方法如下。
  • 选择 $G$ 的一个面 $F_i$，将其表示为边界顶点列表。
  • 任意选择 $F_i$ 边界上的一个顶点 $v_j$ 作为根顶点。
  • 对于与 $F_i$ 关联的凸多边形 $P_i$，构建所有对角线都与根顶点 $v_j$ 关联的三角剖分 $T(P_i)$，这就得到了 $G$ 中面 $F_i$ 的三角剖分 $T(F_i)$。
  • 对 $G$ 的所有面都进行这样的三角剖分，得到的 $G$ 的三角剖分 $T$ 即为 $T(G)$ 的根三角剖分 $T_R$。

2. 寻找根三角剖分

使用双连通邻接表表示 $G$ 来遍历面 $F_i$，找到 $T(F_i)$ 的生成集 $C_i$。假设从顶点 $v_j$ 开始顺时针遍历面 $F_i$，并将 $v_j$ 作为 $P_i$ 的根顶点。设 $v_k$、$v_l$ 和 $v