12、改进的最宽单角走廊算法

改进的最宽单角走廊算法

1. 问题引入

在二维平面中，存在一个由 $n$ 个点组成的集合 $P = {p_1, p_2, \ldots, p_n}$，最近有人提出了最宽空单角走廊问题。

• 单角走廊定义 ：单角走廊 $C = (L_1, L_2)$ 是由两个不相交内部且共享一个公共底边的链 $L_1 = (\ell_1’, \ell_1’‘)$ 和 $L_2 = (\ell_2’, \ell_2’‘)$ 组成。其宽度 $w(C)$ 是两个链宽度中的较小值，角度 $\alpha(C)$ （$0 < \alpha(C) \leq \pi$）由半直线 $\ell_1’$ 和 $\ell_2’$ （或 $\ell_1’‘$ 和 $\ell_2’‘$）确定。如果单角走廊不包含集合 $P$ 中的任何点，且将平面划分为两个无界区域，每个区域至少包含 $P$ 中的一个点，则称该单角走廊为空。
• 现有算法情况 ：之前有人提出了两种计算最宽空单角走廊的算法。确定性算法的时间复杂度为 $O(n^4 \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$；对于给定的 $\epsilon (> 0)$，另一种算法能在 $O(\frac{n \log n}{\sqrt{\epsilon}} + \frac{n^2}{\epsilon})$ 时间内产生宽度大于 $(1 - \epsilon)w^ $ 的解，其中 $w^ $ 是最宽空单角走廊的宽度。当 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 时，对应的走廊是 L 形走廊，计算最宽空 L 形走廊的现有算法时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复