10、高速公路和障碍物存在下的所有最远邻问题研究

高速公路和障碍物存在下的所有最远邻问题研究

1. 引言

在计算几何领域，所有最远邻问题（AFNP）和直径计算是经典问题。给定一个具有度量 $d$ 的空间中的 $n$ 个点集 $S$，点 $s \in S$ 的最远邻 $f(s)$ 定义为 $\arg \max_{p \in S} d(s, p)$，集合 $S$ 的直径则是 $\max_{s \in S} d(s, f(s))$。

如果能在 $O(1)$ 时间内计算两点间的距离，那么可以用朴素的方法在 $O(n^2)$ 时间内计算所有最远邻。若距离由具有 $n$ 个顶点的图的最短路径距离定义，可先解决所有点对最短路径问题，再花费 $O(n^2)$ 额外时间解决 AFNP。

在一些情况下能有更高效的算法，如在欧几里得平面中，通过构建最远 Voronoi 图可在 $O(n \log n)$ 时间内计算直径和 AFNP，三维空间中的直径问题也能在 $O(n \log n)$ 时间内解决。

本文聚焦于模拟城市交通系统的度量空间中的 AFNP。环境的基础空间是具有 $L_1$ 度量（曼哈顿度量）的平面，同时存在障碍物集合 $O$ 和垂直、水平的高速公路集合 $H$。旅行者可利用高速公路更快移动，且需避开障碍物，我们要计算最短旅行时间路径，这种设定很好地反映了城市交通系统的场景。

广义城市度量空间是两种已知现实模型（仅含多边形障碍物的平面或仅含高速公路的平面）的自然扩展。不过，关于高速公路或障碍物存在下的最远邻问题的研究成果较少。以往解决 AFNP 的暴力方法需检查所有点对，时间复杂度为二次方。虽然最远 Voronoi 图可高效解决 AFNP，但在同时存在高速公路和障碍物的情况下，尚无已知算法。