15、线性与非线性回归分析及优化策略

线性与非线性回归分析及优化策略

1. 线性回归基础与应用

线性回归是一种强大的数据分析工具，可用于解决多种实际问题。以求解直线方程为例，使用 LinearRegression() 函数，只需几行代码就能完成。以下是具体代码：

x = [0; 1; 2; 3.5; 4];
y = [-0.5; 1; 2.4; 2.0; 3.1];
F = [ones(length(x),1) x];
[p,y_v,r,p_v] = LinearRegression(F,y);
sigma = sqrt(p_v);
alpha = 0.05;
p95 = p + norminv(1-alpha/2)*[-sigma +sigma];

运行上述代码后，得到最优直线方程为$y = 0.025 + 0.75 · x$，其中常数项$0.025$的标准差为$0.55$，斜率$0.75$的标准差为$0.21$。在$95\%$的置信水平下，参数$\alpha$和$\beta$的取值范围分别为：
- $-1.05 < \alpha < +1.10$
- $+0.33 < \beta < +1.17$

这里需要注意的是，上述计算假设参数服从正态分布，但实际上应使用自由度为$n - 2$的学生$t$分布。修改代码如下：

p95 = p + tinv(1-alpha/2,length(x)-2)*[-sigma +sigma];

修