3、傅里叶变换及其窗口化技术详解

傅里叶变换及其窗口化技术详解

1. 二维傅里叶变换的性质

1.1 可分离性

二维傅里叶变换的可分离性体现在可以通过连续应用一维傅里叶变换（FT）分两步得到 $F(u, v)$，公式如下：
[
F(u, v) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x = 0}^{N - 1} \left[ \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{y = 0}^{N - 1} f(x, y) \exp \left( - j \frac{2\pi vy}{N} \right) \right] \exp \left( - j \frac{2\pi ux}{N} \right) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x = 0}^{N - 1} F(x, v) \exp \left( - j \frac{2\pi ux}{N} \right)
]
其中 $FT_x$ 和 $FT_y$ 分别是行和列上的一维 FT。可分离性使得二维 FT 计算更高效，可先对行计算，再对列计算。

1.2 平移性质

傅里叶变换的平移性质公式为：
[
FT[f(x - x_0, y - y_0)] = F(u, v) \cdot \exp \left[ - j \frac{2\pi (ux_0 + vy_0)}{N} \right]
]
这表明空间域的平移会导致频域的相位变化，而傅里叶变换的幅度对平移是不变的。在许多应用中，由于丢弃了相位信息，使得 FT 特征对平移具有不变性。

1.3 旋转性质

假设函数 $f(x, y)$ 旋转角度 $\theta$ 后变为