2、傅里叶变换：从基础到应用

傅里叶变换：从基础到应用

1. 引言

傅里叶变换在图像处理领域多年来一直扮演着关键角色，并且在理论和应用方面仍然备受关注。其基本原理是将模式视为信号，通过信号的基本组成部分来表示或近似分析中的模式。不同模式可以通过变换后的频谱进行区分，而相似模式即使受到噪声和其他变化的影响，也会有相似的变换频谱。

2. 傅里叶级数

2.1 正弦波

为了理解傅里叶变换的工作原理，需要先了解正弦波的工作原理，特别是频率和周期之间的关系。以下是不同正弦波的频率和周期：
| 正弦波 | 频率 | 周期 |
| — | — | — |
| sin x | 1/2π | 2π |
| sin 2x | 1/π | π |
| sin 4x | 2/π | π/2 |
|… |… |… |
| sin nx | n/2π | 2π/n |

当变量缩放因子 n 增加时，sin(nx) 的周期变短，频率变高。为了更方便理解频率和周期，将 n 替换为 2πn，得到：
| 正弦波 | 频率 | 周期 |
| — | — | — |
| sin(2πx) | 1 | 1 |
| sin(4πx) | 2 | 1/2 |
| sin(8πx) | 4 | 1/4 |
|… |… |… |
| sin(2πnx) | n | 1/n |

更一般的正弦函数形式为 sin(2πn/L)，其周期为 L/n，频率为 n/L，这有助于分析具有任意周期性和频率的信号。
| 正弦波 | 频率 | 周期 |
| —