欧拉降幂

最新推荐文章于 2023-03-15 02:27:43 发布
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本文介绍了欧拉定理，并讨论了在处理大数模指数运算时如何利用欧拉降幂简化计算。当需要计算A^B模C的情况，特别是B很大时，欧拉降幂公式（A^B%C=A^(B%phi(C))%C）提供了高效解决方案，前提是B与C互质。文章还提供了一个相关计算模板。

一、欧拉降幂

先贴一个欧拉定理

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

平常做题时应该都遇到过要求 A^BmodC的情况吧，而当B很大时该怎么做呢。

这时候要用到欧拉降幂

什么是欧拉降幂？

   就是这个公式了。

条件是B>=phi(C),phi表示欧拉函数

或者当B与C互质时，A^B%C=A^(B%phi(C))%C

这里附一个求A^B%C的模板吧


                

        

    


  


        

            

                      
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欧拉函数与欧拉降幂

				
			

			

				

					ChenKunn的博客
				

				

					11-06
					
					1843
					
				

			

		

		

			
				
1.欧拉函数：小于或等于n且与n互素的正整数个数，称为欧拉函数。

2.若n的质因数为p1,p2,p3,,,,,pn,则欧拉函数f(n)可以表示为f(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*.....(1-1/pn).

3.如果p是一个素数，n是正整数，则f()=-.

欧拉函数的实现：直接用公式f(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*.......

			
		

	



                

            
              



	

		

			

				
					
快速幂+矩阵快速幂+欧拉降幂

				
			

			

				

					weixin_43769146的博客
				

				

					08-25
					
					572
					
				

			

		

		

			
				
快速幂
对于一个非常大的数进行指数运算时，运算会很慢。
例如计算5195^{19}519时，直接算就是19个5相乘。快速幂则二进制分解19，得到10011，这时只需要计算3次就可得到答案
设置ans=1，tmp，top从10011的低位指向高位，
10011
5195^{19}519=510011(2)5^{10011(2)}510011(2)=51(2)5^{1(2)}51(2)∗*∗510(2...

			
		

	



              


  
              

                


	

		

			

				
					
数学--数论--广义欧拉降幂（模板）

				
			

			

				

					日拱一卒,功不唐捐
				

				

					03-02
					
					2948
					
				

			

		

		

			
				
未使用欧拉筛：
适用于较少次数计算的欧拉降幂。
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,m,b;

inline ll read(ll m){
    register ll x=0,f=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=...

			
		

	





	

		

			

				
					
详解欧拉降幂

					
热门推荐

				
			

			

				

					Nerdant
				

				

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引出：

为了求解这个式子，我们可以怎么做？

暴力pow？快速幂？

很显然，当b大到一定程度时，利用pow或者快速幂这样的算法是无法在给定时间内求解的，这时我们引入欧拉降幂算法，这个算法的特点就是降低幂方的值而不影响最终结果，使我们解决问题的时间缩短。

结论：

先给出欧拉降幂的公式：



其中代表欧拉函数值

求解：

欧拉函数在这里不做多介绍了，说简单了就是小于等于n的与n互质的数的...

			
		

	



		

			
		



	

		

			

				
					
扩展欧拉定理(欧拉降幂)简单整理

				
			

			

				

					ComingLiu的博客
				

				

					10-19
					
					1306
					
				

			

		

		

			
				
欧拉降幂问题引入二级三级目录
问题引入
二级
三级目录



			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉降幂算法

				
			

			

				

					CairBin的博客
				

				

					03-15
					
					883
					
				

			

		

		

			
				
在之前的文章中提到过快速幂及其取余的运算但是有时候对于anmodm，n会非常大，这时候我们可能需要用的方法来处理。

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉函数以及欧拉降幂

				
			

			

				

					雨潇的博客
				

				

					09-01
					
					1633
					
				

			

		

		

			
				
大数幂运算指数太大的时候，我们需要进行降幂操作。

首先呢，认识欧拉定理之前 先了解一下欧拉函数

欧拉函数性质

若p是一个质数，那么Φ(p)=p-1
	欧拉函数是积性函数，所以Φ(nm)=Φ(n)Φ(m)
	若n=p^k且p为质数，那么Φ(n)=p^k-p^(k-1)。（证明：因为p为质数，那么p^k能被p整除的就有p^(k-1）个，如此说来，不能被p整除的就是两者相减咯）
	当n为奇数时，有...

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉降幂模板

				
			

			

				

					石旭先森的博客
				

				

					09-04
					
					235
					
				

			

		

		

			
				
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 101010
#define MOD(a,b) a>=b?a%b+b:a
#define ll long long
unordered_map<int,int>mp;
int n,q,l,r;
ll m,w[maxn];
ll qpow(ll a,ll...

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉定理以及欧拉降幂

				
			

			

				

					1900的博客
				

				

					01-29
					
					1109
					
				

			

		

		

			
				
大数幂运算   指数太大的时候  我们需要进行降幂操作

首先呢 认识欧拉定理之前 先了解一下欧拉函数      链接     欧拉函数

欧拉定理

我们将欧拉函数写作    

欧拉定理就是  a n为正整数 且 a  n  互质   那么  (mod  n)

那么根据欧拉定理的式子  我们可以转化为  %n  1  

那么既然 在mod n的情况下  恒等于 1  

那么就得到了我们用...

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉降幂，快速幂模板

				
			

			

				

					Helinshan的博客
				

				

					09-27
					
					314
					
				

			

		

		

			
				
**求a^b%p**

1.b不是很大，直接用快速幂板子来写即可
**快速幂板子**
ll quickpow(ll x,ll y ll z)
{//x^y%z
	ll ans=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ans=ans*x%z;
		x=x*x%z;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}

2.b很大，long long都存不下，就不能直接快速幂了，首先必须让b变小，需要对b取模，但不能直接让b对p取模，这里需对p运用欧拉函数板子改变p的值.

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉定理（降幂）

				
			

			

				

					qq_26518655的博客
				

				

					03-01
					
					3396
					
				

			

		

		

			
				
欧拉定理
定理

感觉这个定理降幂的时候用的多一点
题1
题面

思路
对于每一个数字ai，出现的次数为Ai=Cn−1k−1A_i = C_{n-1}^{k-1}Ai​=Cn−1k−1​
排序后，若ai为最大值，则作为最大值出现的次数为Bi=Cik−1B_i = C_{i}^{k-1}Bi​=Cik−1​
排序后，若ai为最小值，则作为最大值出现的次数为Ci=Cn−i−1k−1C_i = C_{n-i-1}^{k-1}Ci​=Cn−i−1k−1​
那么ai的贡献为aiA−B−C{a_i}^{A-B-C}ai

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结

				
			

			

				

					eternal风度
				

				

					10-03
					
					848
					
				

			

		

		

			
				

  
    &#13;
			欧拉函数&amp;欧拉定理&amp;降幂 总结
标签：数学方法——数论
阅读体验：https://zybuluo.com/Junlier/note/1300214
这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。
欧拉函数
欧拉函数写做\(\varphi[x]\)，表示\(0\)到\(x\)中与\(x\)互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数\(p\)...

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉降幂（欧拉-费马定理）

				
			

			

				

					xiange的自闭路
				

				

					07-30
					
					1560
					
				

			

		

		

			
				

map&lt;ll,ll&gt; map_phi;
ll get_phi(ll n)
{
    ll res = n,a = n;
    for(ll i = 2;i * i &lt;= n;++i){
        if(a % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(a % i == 0)    a...

			
		

	





	

		

			

				
					
FZU-1759——(欧拉降幂，模板题)

				
			

			

				

					T.J的博客
				

				

					09-04
					
					385
					
				

			

		

		

			
				
题目链接
思路：
因为指数非常大，用long long 都存不下， 所以要用数组存， 然后在通过欧拉降幂取模是指数变小，在通过快速幂求结果
注：这里只用到了欧拉降幂中 指数大于等于模数的情况
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int max...

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉降幂全过程

				
			

			

				

					YZBPXX
				

				

					11-27
					
					439
					
				

			

		

		

			
				
乘法逆元
ax=1(mod  p)ax=1 (\mod p)ax=1(modp) 且gcd(a,p)==1, 则a的模p的乘法逆元为x
费马小定理
ap−1≡1(mod  p)⟹a∗ap−2a^{p-1}\equiv 1 (\mod p)\Longrightarrow a*a^{p-2}ap−1≡1(modp)⟹a∗ap−2 ,p为质数. 显然ap−2a^{p-2}ap−2 就是a的模p的乘法逆元
分数取模
除法取模(p为质数)abmod  p=abbp−1mod  p=a∗bp−2mod  p\frac{

			
		

	





	

		

			

				
					
欧拉定理，欧拉降幂

				
			

			

				

					weixin_30855099的博客
				

				

					09-01
					
					182
					
				

			

		

		

			
				
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质定理。了解欧拉定理之前先来看一下费马小定理：
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
欧拉给出了推广形式
若n，a为正整数且互质，则，其中φ(n)表示小于等于n的数中与n互质的数的数目。可以看出费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况。

证明（好文章）：https://zhuanlan....

			
		

	



              




          




        



    





    



      

      

        
      

      





	

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              成就一亿技术人!
            

            

              拼手气红包6.0元
            

          

        

        

          

            还能输入1000个字符
          

          

             
          

          

            

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红包金额最低5元

      

      

        
        

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成就一亿技术人!

          

          

        

        

          

          

            领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝
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hope_wisdom
 发出的红包
            

          

        

        

          

          

          

        

      

    

    

  



      
      

      
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 1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
 2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

              

            

          

      

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