扩展欧拉定理(欧拉降幂)简单整理

问题引入

计算$a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，其中$a,b,p$均为正整数

• 看一下这个问题，也许你想使用快速幂来计算，但是如果现在$a\ge 10^{18},b\ge 10^{18}$，快速幂显然会溢出
• 换一个范围，如果现在$b\ge 10^{200000000000}$，一个极大的数，那我们势必要先对$b$取模，但是现在$b$是处于指数的位置，直接取模肯定是错的，所以我们引入欧拉降幂的方法

欧拉降幂

• 首先确保已经会了欧拉函数，接下来直接给出欧拉定理和扩展欧拉定理

欧拉定理

• 设$a,n$均为正整数，且$a,n$互质，$\phi (n)$表示$n$的欧拉函数，则$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况，因为它规定了$n$必须是质数
• 推论$$a^b=a^{\lfloor \frac{b}{\phi (n)}\rfloor \times \phi (n)+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (n)}\equiv 1\times a^{}$$