欧拉函数

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本文深入探讨了欧拉函数的定义与应用，详细解析了如何通过编程算法快速计算任意正整数n的欧拉函数值，即小于n且与n互质的数的个数。文中提供了一个高效的算法实现，采用O(nlogn)的时间复杂度求解1到n的欧拉函数。

一、欧拉函数

贴一下百度百科

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

所以通过欧拉函数可以很方便快捷的找出小于n的与n互质的数的个数

int euler(int n)  //求n的欧拉函数
{
    int num=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            num=num/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        num=num/n*(n-1);
    return num;
}

求1-n的欧拉函数O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h>
#define exp 1e-8
#define mian main
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<ll,ll>
#define ll long long
#define pb push_back
#define PI  acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define w(x) while(x--)
#define int_max 2147483647
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pq(x)  priority_queue<x>
#define ull unsigned long long
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define pl(a,n) next_permutation(a,a+n)
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define met(a,x) memset((a),(x),sizeof((a)))
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,euler[N];
void phi()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        euler[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(euler[i]==i)
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
        euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)){
        phi();
        for(int i=2;i<=n;i++)
            cout<<euler[i]<<endl;
    }
}