35、数论与密码学中的素数生成及素性测试

数论与密码学中的素数生成及素性测试

在密码学领域，素数的生成和素性测试是非常重要的基础操作。本文将详细介绍随机素数的生成方法以及常用的素性测试算法。

1. 随机素数的生成

生成随机 $n$ 位素数的一种自然方法是重复选择随机的 $n$ 位整数，直到找到一个素数为止，最多尝试 $t$ 次。以下是该过程的高级概述算法：

ALGORITHM 9.31
Generating a random prime – high-level outline
Input: Length n; parameter t
Output: A uniform n-bit prime
for i = 1 to t:
    p′ ←{0, 1}n−1
    p := 1∥p′
    if p is prime return p
return fail

该算法通过将 $p$ 的最高位固定为 “1”，确保输出的是长度恰好为 $n$ 的整数。

为了使该算法成为一个高效（即时间复杂度为 $n$ 的多项式）的素数生成算法，我们需要解决两个问题：
1. 一个均匀的 $n$ 位整数是素数的概率。
2. 如何高效地测试一个给定的整数 $p$ 是否为素数。

1.1 素数的分布

素数定理给出了给定长度的整数中素数所占比例的较为精确的界限。对于任意 $n > 1$，$n$ 位整数中素数的比例至少为 $1/3n$。

如果我们设置 $t = 3n^2$，那么在算法的所有 $t$ 次迭代中都没有选择到素数的概率至多为： <