31、现代密码学中的伪随机构造

现代密码学中的伪随机构造

1. 伪随机生成器的构建与应用

• 基于单向置换的伪随机生成器 ：设 $f$ 是一个单向置换。通过定理 8.18 中的扩展因子为 $n + 1$ 的伪随机生成器，并采用定理 8.19 证明中的方法将扩展因子增加到 $n + ℓ$，可以得到伪随机生成器 $\hat{G}$：$\hat{G}(s) = f ^{(ℓ)}(s) \parallel hc(f ^{(ℓ - 1)}(s)) \parallel \cdots \parallel hc(s)$，其中 $f ^{(i)}$ 表示 $f$ 的 $i$ 次迭代。$\hat{G}$ 使用了 $\ell$ 次 $f$ 的计算，并且每次计算使用硬核谓词 $hc$ 生成一个伪随机比特。
• 与流密码的联系 ：流密码（无 IV）由算法 (Init, Next) 定义。Init 接受一个种子 $s \in {0, 1}^n$ 并返回初始状态 $st$，Next 接受当前状态 $st$ 作为输入，输出一个比特 $\sigma$ 和更新后的状态 $st’$。$\hat{G}$ 可以很好地适配这个范式：将 Init 定义为输出 $st = s$ 的简单算法，Next(st) 计算 $G(st)$，将结果解析为 $st’ \parallel \sigma$，其中 $|st’| = n$，并输出比特 $\sigma$ 和更新后的状态 $st’$。

2. 混合论证方法

混合论证是在一个原语（或几个不同的原语）被多次应用时证明不可区分性的基本工具。该技术通过定义一系列中间“混合分布”来连接两个我们希望证明不可区