13、伪随机函数（PRFs）及其在现代密码学中的应用

伪随机函数（PRFs）及其在现代密码学中的应用

1 引言

伪随机函数（Pseudorandom Functions, PRFs）是现代密码学中极为重要的组成部分。与伪随机比特生成器（Pseudorandom Bit Generators, PRBGs）不同，PRFs并不生成满足特定随机性要求的输出，而是试图模拟随机函数的输入-输出行为。随机函数是从所有从域 ( X ) 到范围 ( Y ) 的映射集合中随机选择的函数。对于输入值 ( x \in X )，PRF 计算任意的输出值 ( y = f(x) \in f(X) \subseteq Y )，唯一的条件是相同的输入值 ( x ) 必须总是映射到相同的输出值 ( y )。

PRFs 和 PRBGs 之间存在密切的关系：PRF 家族可以用来构造 PRBG，反之亦然。本文将详细介绍 PRFs 的基本概念、构造方法、随机预言机模型及其在现代密码学中的应用。

2 构造方法

2.1 基于 PRF 的 PRBG

PRF 可以用于构造伪随机比特生成器（PRBG）。具体来说，给定一个种子 ( s_0 )，我们可以使用 PRF 来生成一系列伪随机比特。构造方法如下：

1. 初始化状态寄存器为种子 ( s_0 )。
2. 使用 PRF 计算下一个状态 ( s_{i+1} = f(s_i) )。
3. 对每个状态 ( s_i )，使用输出函数 ( g ) 计算输出值 ( x_i )（通常是一个比特或一系列比特）。
4. 输出比特序列 ( (x_i)_{i \geq 1} )。

这个过程可以通