2、计算机视觉与机器学习中的关键算法与应用

计算机视觉与机器学习中的关键算法与应用

在计算机视觉和机器学习领域，有许多重要的概念和算法，它们在数据处理、模型训练和图像生成等方面发挥着关键作用。本文将详细介绍互信息、Jensen不等式、最大似然估计、期望最大化算法以及梯度下降算法在线性回归中的应用，并结合具体代码示例进行说明。

1. 互信息与Jensen不等式

互信息（Mutual Information）用于衡量两个随机变量之间的依赖程度。若随机变量X和Y不独立，互信息I(X,Y)为正数。例如，在赌博机中使用公平硬币和公平骰子的情况下，其互信息I(X,Y)为零。互信息的计算公式如下：
[I(X, Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) = 0.032]
[H(X, Y) = H(X) + H(Y|X) = H(Y) + H(X|Y) = 1.142]

Jensen不等式指出，对于一个凸函数g(x)，在范围x∈X内，若E[g(X)]和g[E(X)]有限，则函数在该范围内值的平均值大于或等于函数在X平均值处的值，即E[g(X)] ≥ g[E(X)]。x的概率密度函数（PDF）可以是正态分布或其他类型的分布。以下是两个具体示例：
- 示例1 ：凸函数g(x) = x²，x∈[-1,1]，PDF p(x) = 1/2。
- [g = E_p[X] = \int_{-1}^{1} xp(x)dx = 0]
- [g(E_p[X]) = (g)^2 = 0]
- [E_p[g(X)] = \int_{-1}^{1} x^2p(x)dx = \frac{1}{3}]
- 因此，E_p[g(X)] &g