34、二维变换模型及其参数学习

二维变换模型及其参数学习

在计算机视觉领域，理解平面与图像之间的映射关系至关重要。本文将深入探讨二维变换模型，包括欧几里得变换、相似变换、仿射变换和投影变换，并介绍如何从数据中估计这些变换的参数。

1. 二维变换模型概述

在处理针孔相机观察世界平面的情况时，相机方程会简化，以反映平面上的点与图像中的点之间存在一一映射的事实。这种映射可以用一系列二维几何变换来描述。为了更好地理解这些变换，我们可以考虑一个增强现实应用，其中需要将3D内容叠加到平面标记上。为了实现这一点，我们需要分两步建立平面相对于相机的旋转和平移：首先估计标记上的点与图像中的点之间的二维变换，然后从变换参数中提取旋转和平移信息。

2. 具体二维变换模型

2.1 欧几里得变换模型

当校准后的相机观察已知距离D的正平行平面时，会出现欧几里得变换。这种情况在机器检查应用中很常见，例如头顶相机观察传送带并检查深度变化很小或没有深度变化的物体。

假设平面上的位置可以用3D位置w = [u, v, 0]T表示，其中w坐标垂直于平面，始终为零，因此有时可以将w视为二维坐标。应用针孔相机模型得到：
[
\lambda\tilde{x} = \Lambda[\Omega, \tau]\tilde{w}
]
其中，(\tilde{x})是二维观察图像位置的齐次3向量，(\tilde{w})是世界中的3D点的齐次4向量。经过一系列推导，消除修改后的内参矩阵的影响后，得到欧几里得变换：
[
\lambda
\begin{bmatrix}
x’ \
y’ \
1
\