2、从遮挡轮廓进行旋转二次曲面的多视图重建

从遮挡轮廓进行旋转二次曲面的多视图重建

1 引言

计算机视觉中 3D 重建范式如今已成熟，这部分归功于射影几何。射影几何让我们能设计分层重建策略，理解相机校准与二维或三维射影空间欧几里得结构之间的联系。近年来，它还为一些早期视觉问题带来了新的见解，例如从单视图或多视图进行二次曲面、二次曲线或旋转曲面的 3D 重建。

一般 9 自由度二次曲面的图像是一个 5 自由度的圆锥曲线，通常被称为二次曲面的遮挡轮廓或外轮廓。1998 年，Cross 等人描述了一种使用对偶空间几何从二次曲面的外轮廓进行线性三角测量的方案。与点的线性三角测量类似，该方案适用于有限和一般射影相机，但关键区别在于，二次曲面的三角测量至少需要来自 3 个视图的 3 个外轮廓，而仅有 2 个外轮廓时会存在歧义，即得到一个一维线性解族。

本文研究旋转二次曲面（QoR），它是由圆锥曲线绕其对称轴之一旋转生成的 7 自由度二次曲面。我们描述了一种多视图算法，该算法可以根据已知有限射影相机从 2 个或更多视图拍摄的长旋转二次曲面（PQoR）的遮挡轮廓，明确地重建 PQoR。PQoR 指的是旋转轴通过旋转圆锥曲线的两个实焦点（称为 PQoR 的主焦点）的任何旋转二次曲面，这里的 PQoR 还包括双叶旋转双曲面。

1.1 背景

射影二次曲面

在 n 阶射影空间 $P^n$ 中，二次曲面是满足二次方程 $X^TQX = 0$ 的点 $X \in P^n$ 的轨迹，其中 $Q$ 是一个 $(n + 1)$ 阶对称矩阵，称为二次曲面矩阵。如果 $n = 2$，二次曲面称为圆锥曲线。在对偶射影空间 $P^n_ $ 中，二次曲面是满足二次方程 $\pi^TQ^ <