7、线性系统的直接解法：Schur分解与最小二乘法求解

线性系统的直接解法：Schur分解与最小二乘法求解

1. Schur分解

1.1 酉矩阵与复Householder矩阵

在处理线性系统时，我们引入了酉矩阵和复Householder矩阵的概念。对于矩阵 (U \in C^{n\times n})，若满足 (U^TU = I)（其中上横线表示复共轭），则称 (U) 为酉矩阵，它是正交矩阵在复数域的对应。复Householder矩阵 (H \in C^{m\times m}) 定义为 (H = H(w) = I - 2ww^T)，其中 (w \in C^{m}) 满足 (|w|_2^2 = w^Tw = 1) 或 (w = 0)。容易证明，复Householder矩阵是酉矩阵，即 (H^T = H)，并且之前关于Householder矩阵的结果在复数域依然成立。

1.2 Schur分解定理

对于任意矩阵 (A \in C^{n\times n})，存在酉矩阵 (U \in C^{n\times n})，使得 (R := U^TAU) 是上三角矩阵。下面我们通过归纳法来证明这个定理：
- 基础情况 ：当 (n = 1) 时，定理显然成立。
- 归纳假设 ：假设对于所有 ((n - 1) \times (n - 1)) 矩阵，定理成立。
- 归纳步骤 ：由于特征多项式 (p(\lambda) = \det(A - \lambda I)) 在复数域可分解，我们可以找到一个特征值 (\lambda) 和对应的特征向量 (x \in C^{n} \setminus {0})，