17、多向割与装箱整数规划的近似算法研究

多向割与装箱整数规划的近似算法研究

1. 多向割相关结论

在超图 (H_{4,n} = (\Delta_{4,n}, E)) 中，在标签 (\ell) 下，非单色超边的数量至少为 (\alpha n(n + 1))。对于每个超边 (e = {u_1, u_2, u_3, u_4} \in E)，由 (e) 中节点诱导的子图 (G[e]) 包含 6 条边。任意两个超边 (e_1) 和 (e_2)，诱导子图 (G[e_1]) 和 (G[e_2]) 中的边是不相交的，因为 (e_1) 和 (e_2) 最多共享一个节点。而且，对于每个非单色超边 (e \in E)，(G[e]) 中至少有 3 条边在 (\delta(P)) 中。所以，图 (G) 中在 (\delta(P)) 里的边的数量至少为 (3\alpha n(n + 1))。

2. 装箱整数规划（PIPs）概述

装箱整数规划（PIPs）的形式为 (\max{\langle c, x\rangle: Ax \leq b, x \in {0, 1}^n})，其中 (c)、(A) 和 (b) 均为非负。定义 (W = \min_{i,j} b_i/A_{i,j}) 为 (A) 的宽度，且 (W) 至少为 1。

许多离散和组合优化中的重要问题都可以表示为 PIPs 的特殊情况，例如图和超图中的最大独立集、集合装箱、匹配和 (b) - 匹配、背包问题（当 (m = 1) 时）以及多维背包问题。最大独立集问题（MIS）是 PIPs 的一个特殊情况，它是 NP - 难的，并且除非 (P = NP)，否则不存在 (n^{1 - \epsilon}) - 近似算法。

3. 以往基于 (\Delta_0)