10、冲突装箱与矩阵块分布问题的近似算法分析

冲突装箱与矩阵块分布问题的近似算法分析

在并行计算和资源分配领域，冲突装箱问题与矩阵的一般块分布问题是两个重要的研究方向。冲突装箱问题旨在考虑物品之间存在冲突关系时如何将物品放入最少的箱子中；而矩阵的一般块分布问题则关注如何将矩阵划分为正交块，以最小化单个块内元素的最大和，这对于并行处理器上的负载均衡至关重要。

冲突装箱问题的近似算法

对于冲突装箱问题，研究聚焦于限制在具有常数 (d) 的 (d) -归纳图上。相关算法对大型物品集合 (J)（物品大小 (\geq\delta)）生成的箱子总数有一定的界限。

• Karmarkar 和 Karp 算法的界限 ：该算法生成的箱子总数受限于 ((1 + \epsilon)OPT(J) + \frac{1}{\epsilon^2} + 3)。
• 算法步骤产生的额外箱子 ：算法的步骤 (4) 最多产生 (m \cdot d) 个额外箱子，其中 (m \leq \frac{2}{\epsilon^2})。
• 步骤 (5) 后的箱子总数 ：步骤 (5) 之后的箱子总数为 (\max[\beta, (1 + 2\delta)OPT(I)] + (3d + 1))。由于 (\beta \leq (1 + \epsilon)OPT(J) + \frac{2d + 1}{\epsilon^2} + 3) 且 (\delta = \frac{\epsilon}{2})，最多有 ((1 + \epsilon)OPT(I) + \frac{2d + 1}{\epsilon^2} + 3d +