84、线性规划与整数规划在装箱问题中的鲁棒近似算法

线性规划与整数规划在装箱问题中的鲁棒近似算法

在优化问题的求解中，线性规划（LP）和整数规划（ILP）是非常重要的工具。本文将介绍如何通过改进近似解来优化线性规划和整数规划的求解，以及如何将这些方法应用于装箱问题。

线性规划的鲁棒性与近似解改进

考虑一个矩阵 $A \in R^{m×n} {\geq0}$，向量 $b \in R^{m} {\geq0}$ 和成本向量 $c \in R^{n} {\geq0}$。线性规划的目标是找到一个 $x \geq 0$，使得 $Ax \geq b$，并且目标值 $c^T x$ 最小。我们定义 $x {OPT}$ 为最优解，即 $c^T x_{OPT} = min{c^T x | Ax \geq b, x \geq 0}$，并记 $LIN = c^T x_{OPT}$。通常假设解的目标函数值为正，即 $LIN > 0$。如果 $|x’|_1 \leq (1 + \delta)LIN$，则称 $x’$ 是一个近似比为 $(1 + \delta)$ 的近似解。

定理 1 ：对于线性规划 $min{c^T x | Ax \geq b, x \geq 0}$ 和一个近似解 $x’$，满足 $c^T x’ = (1 + \delta)LIN$（其中 $\delta > 0$）。对于任意正的 $\alpha \leq \delta LIN$，存在一个解 $x’‘$，其目标值 $c^T x’’ \leq (1 + \delta)LIN - \alpha$，并且距离 $|x’ - x’‘| 1 \leq \alpha(1/\delta + 1)\frac{|x’|_