4、图划分与神经网络优化的混合整数规划方法

图划分与神经网络优化的混合整数规划方法

在图论和神经网络领域，解决诸如图划分和网络验证等优化问题是至关重要的。本文将介绍图划分中的最小最大多割问题的解决方法，以及针对训练好的神经网络的混合整数规划（MIP）公式化方法。

图划分：最小最大多割问题

在图划分问题中，我们的目标是将图的顶点划分为多个部分，同时满足一些特定的条件。这里主要关注最小最大多割问题，即最小化划分中最大割的权重。

相关引理与定理

• 推论 1 ：给定一个边加权图 (G = (V, w))，一组源 - 汇对 (S_G)，一个在顶点集 (V) 上的测度 (\eta) 使得 (\eta(V) = 1)，以及一个参数 (\tau)，可以找到一个集合 (S = {S_1, \cdots, S_j})，满足对于所有的 (S_i \in S)，(S_i \subseteq V)，(\text{Pr}[\text{vio}(S_i) \geq 1] \leq 1/n)，并且 (\delta(S_i) \leq O(\log(n)) \cdot \text{OPT})，其中 (\text{OPT} = \arg \min{\delta(T) : \frac{\eta(T)}{\eta(V)} \geq \tau, \text{vio}(T) = 0})。此外，(\eta(S) = \sum_{i = 1}^{j} \eta(S_i) \geq \Omega(\tau \cdot \eta(V)))。

  • 证明思路 ：算法通过猜测一个 (H \geq \tau) 使得 (H \l