离散数学-命题逻辑学习笔记-5

厚切薯片

于 2025-07-01 16:21:15 发布

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文章标签：学习笔记离散数学推理研究生

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休息了几日，紧跟上次的内容进行更新，跟上跟上！

忘记了上次内容可以跳转：离散数学-命题逻辑学习笔记-4-优快云博客

尤其是P1∧P2∧…∧Pn →(P → Q)形式命题的证明。

反证法(归谬法)

形式系统

命题逻辑的推理理论

判断结论有效的方法

真值表法

顾名思义，在判断一个结论是否有效的时候，先把命题公式的真值表列出来

然后满足下列要求即可判断结论有效：

(1)对所有G1, G2, …, Gn都具有真值T的行(表示前提为真的行)，如果在每个这样的行中，H也具有真值T，则H是G1, G2, …, Gn的逻辑结果；

(2)对所有H具有真值为F的行(表示结论为假的行)，如果在每一个这样的行中， G1, G2, …, Gn中至少有一个公式的真值为F(前提也为假)。则H是G1, G2, …, Gn的逻辑结果。

不懂？上例题！

判断下列H是否为前提G1，G2的逻辑结果。

(1) H：Q; G1：P，G2：P→Q；

我们需要看在所有G1和G2都为真的情况下，H是否也为真。

最终答案

是的，H 是 G1 和 G2 的逻辑结果。 从 G1: P 和 G2: P → Q 可以有效地推出 H: Q。

不难吧

等值演算法

直接用等值演算来判断推理的形式结构是否是重言式。

上例题进行讲解

例：下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了。

p：马芳下午去看电影。

q：马芳下午去游泳。

我们需要判断的是：(p∨q)∧¬p→q  是否为重言式。

当然我们可以用真值表很快得出结果，但是我们不！挑战一下等值演算法

将蕴含转化为或：
(p∨q)∧¬p→q≡¬((p∨q)∧¬p)∨q

使用德摩根律展开：
¬((p∨q)∧¬p)∨q≡¬(p∨q)∨¬¬p∨q≡¬(p∨q)∨p∨q
再次使用德摩根律：
¬(p∨q)≡¬p∧¬q

所以：
(¬p∧¬q)∨p∨q

使用分配律：
(¬p∧¬q)∨p∨q≡(¬p∨p∨q)∧(¬q∨p∨q)

不难得出(p∨q)∧¬p→q≡T

主析取范式法

将推理的形式结构转化为主析取范式，但仍判断其是否为重言式。

上例题！

若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温超过了30 ℃。

(p→q)∧(q→¬r)→(¬r→p)

就是证明上述为永真式，其实不难证明，真值表或者等值演算都可

聪明的你是不是发现：哎呀~什么啊，推理的内容不还是和前面一样，连方法都是前面的~有什么新的东西吗？有！有的~

构造证明法

构造证明法是依据一些公认的推理规则，从前提出发，推导结论，它可以看作公式的序列，其中每个公式都是按照事先规定的规则得到的，且可将所用的规则在公式后写明，该系列最后一个公式是所要证明的结论。

(1)推理规则： ①前提引入规则：在推理的任何步骤上都可以引入前提； ②结论引入规则：在推理的任何步骤上所得到的结论都可以做为后续证明的前提； ③置换规则：在推理的任何步骤上，命题公式的子公式都可以用与之等价的公式置换，得到公式序列中又一个公式。

上面一大串是不是感觉不说人话，那么直接粗暴一点，记住定理-记住结论-做题认识

推理定理

1.A=>(A∨B) 附加律

2. A∧B=>A 化简律

3. (A→B) ∧A =>B 假言真理

4. (A→B) ∧¬B =>¬A 拒取式

5. (A˅B) ∧¬B =>A 析取三段论

6. (A→B) ∧(B→C) =>A→C 假言三段论

7. (A↔B) ∧(B↔C) =>A↔C 等价三段论

8. (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) =>(B∨D) 构造性二难

(A→B)∧(¬A→B)∧(A∨¬A) =>B 构造性二难(特殊形式)

9. (A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D) =>(¬A∨¬C)破坏性二难

由此得出的 8个推理规则

附加规则：A╞ (A∨B)

解释：如果 A 为真，那么 A∨B（A或 B）也为真。

化简规则：(A∧B)╞ A

解释：如果 A∧B（A 且 B）为真，那么 A 一定为真

假言推理规则：(A→B) ，A╞ B

拒取式规则：(A→B)， ¬B╞ ¬A

假言三段论规则：(A→B)，(B→C)╞ (A→C)

析取三段论规则：(A ˅ B)， ¬B╞ A

构造性二难规则：(A→B)，(C→D)，(A∨C) ╞ (B∨D)

破坏性二难规则：(A→B)，(C→D)，(¬B∨¬D) ╞ (¬A∨¬C)

合取引入规则：A，B╞ (A∧B）

如何使用构造证明法呢？

构造下列推理的证明：前提：p ∨q，p →¬r，s →t， ¬s →r， ¬t 结论：q

第一步：从 ¬t 和 s→t推出 ¬s

第二步：从 ¬s 和 ¬s→r 推出 r

第三步：从 r 和 p→¬r 推出 ¬p

第四步：从 ¬p 和 p∨q 推出 q

因此q 为真

尤其是P1∧P2∧…∧Pn →(P → Q)形式命题的证明。

若P1, P2, …, Pn, P╞ Q，则P1, P2, …, Pn╞ P→Q

如果A参加球赛，则B或C也将参加球赛。如果B参加球赛，则A不参加球赛。如果D参加球赛，则C不参加球赛。所以，A若参加球赛，则D 不参加球赛。

可以的看到，这里本应该推出结论A→¬D但是可以将A作为前提条件进行推理

反证法(归谬法)

设G1, G2, …, Gn是一组命题公式，P1, P2, …, Pn是出现在G1, G2, …, Gn中的一切命题变元，I是它的任意解释，若有解释I使 G1∧G2∧…∧Gn取值为“真” ，则称公式G1, G2, …, Gn是一致的(Consistency)。如对任意的解释I，都有G1∧G2∧…∧Gn取值为“假” ，则称公式G1, G2, …, Gn是不一致的(Inconsistency)，或者说G1∧G2∧…∧Gn是一个矛盾式。

定义很多，但其实我们都曾经用过反证法

定理：设命题公式集合{G1, G2, …, Gn}是一致的，于是从前提集合{G1, G2, …, Gn}出发可以逻辑地推出公式H的充要条件是从前提集合{G1, G2, …, Gn, ¬H}出发，可以逻辑推出一个矛盾式来。

例题：

证明：p →(q ∨r)╞ (p →q) ∨(p →r)

1、假设 ¬(p→q)∨(p→r)

2、由德摩根律：

¬(p→q)∧¬(p→r)

3、因为 

p→q≡¬p∨q，所以：

¬(¬p∨q)≡p∧¬q

¬(¬p∨r)≡p∧¬r

因此：

(p∧¬q)∧(p∧¬r)≡p∧¬q∧¬r

从前提p→(q∨r) 和 p 为真，得 q∨r 为真。

但 ¬q∧¬r 为真，即 q∨r 为假，矛盾。