离散数学-命题逻辑学习笔记-5

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于 2025-07-01 16:21:15 发布 · 1.2k 阅读

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#学习 #笔记 #离散数学 #推理 #研究生

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休息了几日，紧跟上次的内容进行更新，跟上跟上！

忘记了上次内容可以跳转：离散数学-命题逻辑学习笔记-4-优快云博客

尤其是P1∧P2∧…∧Pn →(P → Q)形式命题的证明。

反证法(归谬法)

形式系统

命题逻辑的推理理论

判断结论有效的方法

真值表法

顾名思义，在判断一个结论是否有效的时候，先把命题公式的真值表列出来

然后满足下列要求即可判断结论有效：

(1)对所有G1, G2, …, Gn都具有真值T的行(表示前提为真的行)，如果在每个这样的行中，H也具有真值T，则H是G1, G2, …, Gn的逻辑结果；

(2)对所有H具有真值为F的行(表示结论为假的行)，如果在每一个这样的行中， G1, G2, …, Gn中至少有一个公式的真值为F(前提也为假)。则H是G1, G2, …, Gn的逻辑结果。

不懂？上例题！

判断下列H是否为前提G1，G2的逻辑结果。

(1) H：Q; G1：P，G2：P→Q；

我们需要看在所有G1和G2都为真的情况下，H是否也为真。

最终答案

是的，H 是 G1 和 G2 的逻辑结果。 从 G1: P 和 G2: P → Q 可以有效地推出 H: Q。

不难吧

等值演算法

直接用等值演算来判断推理的形式结构是否是重言式。

上例题进行讲解

例：下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了。

p：马芳下午去看电影。

q：马芳下午去游泳。

我们需要判断的是：(p∨q)∧¬p→q  是否为重言式。

当然我们可以用真值表很快得出结果，但是我们不！挑战一下等值演算法

将蕴含转化为或：
(p∨q)∧¬p→q≡¬((p∨q)∧¬p)∨q

使用德摩根律展开：
¬((p∨q)∧¬p)∨q≡¬(p∨q)∨¬¬p∨q≡¬(p∨q)∨p∨q
再次使用德摩根律：
¬(p∨q)≡¬p∧¬q

所以：
(¬p∧¬q)∨p∨q

使用分配律：
(¬p∧¬q)∨p∨q≡(¬p∨p∨q)∧(¬q∨p∨q)

不难得出(p∨q)∧¬p→q≡T

主析取范式法

将推理的形式结构转化为主析取范式，但仍判断其是否为重言式。

上例题！

若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温超过了30 ℃。

(p→q)∧(q→¬r)→(¬r→p)

就是证明上述为永真式，其实不难证明，真值表或者等值演算都可

聪明的你是不是发现：哎呀~什么啊，推理的内容不还是和前面一样，连方法都是前面的~有什么新的东西吗？有！有的~

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