离散数学-命题逻辑学习笔记-4

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高能预警！接下来我们先来个例题开胃！学一学如何求主析取范式和主合取范式！

例题解释

例题1：求命题公式((P∧Q)→R)∧(P↔Q)的主析取范式。

这道题怎么做呢？以此题来解释真值表法吧

真值表法！

第一步：列出所有可能的变量赋值

这一步就是看看咱们需要多少行。我们有三个命题变量 P,Q,R，每个变量可以取真（T）或假（F）。因此，共有 2的3次方=8种可能的赋值组合。我们可以用真值表来表示这些组合。

第二步：构建真值表

P	Q	R	P∧Q	(P∧Q)→R	P↔Q	((P∧Q)→R) ∧ (P↔Q)
T	T	T	T	        T	     T	            T
T	T	F	T	        F	     T	            F
T	F	T	F	        T	     F	            F
T	F	F	F	        T	     F	            F
F	T	T	F	        T	     F	            F
F	T	F	F	        T	     F	            F
F	F	T	F	        T	     T	            T
F	F	F	F	        T	     T	            T

这一步就是罗列出来各种真值的组合即可

第三步：识别使整个公式为真的赋值

要知道例题是要求我们求主析取范式，那么主析取范式就是找到真值表中所有赋值为真的（当然，如果求主合取范式，就是找到真值表中所有赋值为假的）

第四步：构建极小项

主析取范式就是构建极小项，主合取范式就是构建极大项。

当然上图是构建极小项，极大项的构建就是发过来，如果P=T，那么极大项就是¬P，以此类推，其实就是反过来。

第五步：构造主析取范式

(P∧Q∧R)∨(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧¬Q∧¬R)

主析取范式就是将上面的极小项析取符号连接起来。

当然如果上述步骤没理解，这里推荐一个博主的视频教程，很适合初学者，其中视频里面求主合取范式的步骤反了，留意弹幕！https://www.bilibili.com/video/BV1fM4y1B7Fh/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=b4916047571c354549d0bf8000c9720f

等值公式法！

上例题！

利用公式的等价求G=(P→Q)∧R的主析取范式和主合取范式

等值公式法其实比较难（个人理解哈）

第一步：将蕴含转换为析取

由于P→Q≡¬P∨Q，所以G可以表示为G=(¬P∨Q)∧R

第二步：应用分配律

为了将公式转换为合取范式或析取范式，可以应用分配律。这里我们首先尝试将其转换为析取范式（即多个合取式的析取）

(¬P∨Q)∧R≡(¬P∧R)∨(Q∧R)

不要告诉我至此打住了奥，looking at my eyes!

第三步：补全变量

通过上一步可以发现其实已经初具主析取范式的样子了，但是我们发现每个合取式里面没有包含所有变量。那就补上

第四步：合并并消除重复

将上述展开后的表达式合并：
[(¬P∧Q∧R)∨(¬P∧¬Q∧R)]∨[(P∧Q∧R)∨(¬P∧Q∧R)]

合并相同的极小项：
(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)

第五步：主析取范式

(¬P∧¬Q∧R)∨(¬P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)

也可以用编码表示为m1​∨m3​∨m7​。

有朋友可能会问，啊？这m1，m3,m7怎么莫名其妙出来了，其实不要惊讶，这个情况是真值表与二进制巧妙融合！

主析取范式和主合取范式的转化

主合取范式是通过极大项的合取来表示的。极大项对应于真值表中公式为假的赋值。我们需要从主析取范式中推导出主合取范式。

首先，列出所有可能的极小项（共 8 个，因为有三个变量），然后主析取范式包含的极小项对应的赋值使公式为真，其余的使公式为假。

对于每个使公式为假的赋值，构造极大项：

P=F,Q=F,R=F构造为P∨Q∨R （M0）

以此构造，后面就不一一举例了，相信你可以的

因此，GG 的主合取范式为：(P∨Q∨R)∧(P∨¬Q∨R)∧(¬P∨Q∨R)∧(¬P∨Q∨¬R)∧(¬P∨¬Q∨R)

这个公式法在变量很多的时候用比较合适，因为你可以猜想到这个公式法有时候主合取范式求起来很快，有时候主析取范式求起来很快，很多时候根本没有思路哈哈哈，那么在变量不太多的时候就好好学真值表法吧，因为上手很快。

你说这扯不扯，这些方法在老师的PPT里面只有几页，天啊，原来我在老师心目中会的这么多吗？

性质

(1) 如果命题公式是永真公式它的主析取范式包 含所有极小项，此时主合取范式不含有任何极大 项，为空，记1或T

(2) 如果命题公式是永假公式它的主合取范式包 含所有极大项，此时主析取范式不含有任何极小 项，为空，记0或F

(3) 两个命题公式A，B，AB当且仅当A与B有相 同的真值表，又当且仅当A与B有相同的主析取范 式(主合取范式) (真值表和主范式是描述命题公式 标准形式的两种不同的等价形式)

主范式的应用

敲黑板！！！！！！这可是考试里面重点哟~

求公式的成真或成假赋值

如：p →q ∴00，01，11是成真赋值，10是成假赋值

这一部分比较简单，真值表做起来也很是直观

判定问题

根据主范式的定义和性质，也可以判定含n个 命题变元的公式，其关键是先求出给定公式 的主范式A，其次按下列条件判定之：

1、若A≡T，或A可化为与其等价的含 2 的n次方个 极小项的主析取范式，则A为永真式

2、若A≡F，或A可化为与其等价的含 2 的n次方个 极大项的主合取范式，则A为永假式

来个例题试试？

判定公式：(1) (P→Q)∧Q； (2) (P→Q) →(¬ P∨Q)。

证明等价性

由于任何一公式的主范式是唯一的，所以求 给定两公式的主范式，若主范式相同，则给 定两公式是等价的。

解决实际问题

某科研所要从3名科研骨干A，B，C中挑 选1-2名出国进修，由于工作需要，选派时 要满足以下条件： ①若A去，则C同去；② 若B去，则C不能去；③若C不去，则A或B 可以去。

主合取范式
G =(A∨¬B∨C)∧(¬A∨B∨C)∧(¬A∨¬B∨¬C)

通过逻辑范式分析，有效选派方案为：

1. 单独选派 B

2. 单独选派 C

3. 同时选派 A和C

命题逻辑的推理理论

推理也称论证，它是指从前提出发推出结论的思 维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从 前提出发应用推理规则推出的命题形式。

定义：设G1, G2, …, Gn，H是命题公式，若对 于G1, G2, …, Gn，H中出现的命题变元的任意一 组赋值，或者G1∧G2∧…Gn为假，或者当 G1∧G2∧…Gn为真，H也为真，则称H是G1, G2, …, Gn的有效结论(Efficacious Conclusion)或 逻辑结果(Logic Conclusion)。 G1, G2, …, Gn仍为 一组前提(Premise)。记{G1, …, Gn}推理H为 {G1, …, Gn}├H，若正确推理，则记为{G1, …, Gn}╞H

定理1

命题公式G1, G2, …, Gn推出结论H的推 理正确或公式H是前提条件{G1, G2, …, Gn}的逻辑 结果，当且仅当(G1∧G2∧…Gn) →H为重言式。

判断结论有效的方法

1.真值表法；2.等值演算法；3.主析取范式法

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下一篇将会详细展开上述三个方法，推理比较有意思，加油，旅行者~

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