离散数学-命题逻辑学习笔记-2

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本贴接着上一篇帖子进行记录命题逻辑的笔记。跟上跟上！离散数学-命题逻辑学习笔记-1

一、命题逻辑

1.3.3特殊公式（记住吧，就这三个）

G1= ¬(P→Q) →P（这个式子的真值恒为真）

G2=(P→Q) ∧P      (这个式子可真可假）

G3= ¬(P∧ ¬ Q) ↔ ¬ (P→Q）（这个式子恒为假）

1.4、重言式（永真公式）

顾名思义，重言式（永真公式）就是所有解释下它都是true的。

1.5、永假式（矛盾式）

有真就有假，永假式即所有解释下它都是false的。

注意：重言式的否定是矛盾式，矛盾式的否定是重言式。简而言之，研究其一即可。

重言式的合取、析取、蕴含、等价等都是重言式

命题的永真和永假是可判定的，判定方法有真值表法和公式推演法

判定公式例题

这个时候就有一个类型的题目来练练手了，我看看怎么回事》》》》》

(P→Q) ↔(¬ P∨Q);
对上述公式可以列出真值表来判定是重言公式还是矛盾式。
P	Q	¬P	P→Q	¬P ∨ Q	(P→Q) ↔ (¬P ∨ Q)
T	T	F	T	   T	      T
T	F	F	F	   F	      T
F	T	T	T	   T	      T
F	F	T	T	   T	      T
看最后一列可以得出这玩意是重演公式

((P→Q)∧P) →Q
这个例题你就自己来吧，我不打扰先走了>>>>>>>>>>>>>>

2、恒等式

顾名思义，恒等式是Q、H在任何解释下，Q和H都是等价的，写作G⇔H。

2.1定理一

恒等式Q⇔H的充分必要条件是Q↔H是重言式。

注意：这里有个容易搞混的点（敲键盘三下！！！！！）

⇔不是逻辑联结词，因此Q⇔H不是命题公式

常用恒等式

尤其要注意摩根定律！

你以为完了，怎么可能，再附上一张表，好好看，好好学（T为true，F为false)

这里可能有同学对归谬律有点疑问，那么用一句话解释就茅塞顿开了如果从同一个前提P既能推出Q，又能推出¬Q（即导致矛盾），那么前提P本身必定为假。

3、永真蕴含式

永真蕴含式即A→B在任何解释下都是真的，那么可以记作A ⇒B

 

常用永真蕴含式

4、恒等式和永真蕴含式的常用定理

若A⇔B， B⇔C，则A⇔C；若A=>B， B=>C，则A=>C. (即逻辑恒等和永真蕴含都是可传 递的)；

若A=>B， A=>C，则A=>B∧C

4.1、代入定理

如果一个命题公式 G(P1,P2,…,Pn)G(P1​,P2​,…,Pn​) 是永真式（或永假式），那么将其中的命题变元 P1,P2,…,PnP1​,P2​,…,Pn​ 用任意命题公式 G1,G2,…,GnG1​,G2​,…,Gn​ 替换后，得到的新公式 G(G1,G2,…,Gn)G(G1​,G2​,…,Gn​) 仍然是永真式（或永假式）。

4.2、替换定理

如果一个命题公式 GG 包含子公式 G1G1​，且 G1G1​ 逻辑等价于另一个公式 H1H1​（即 G1⇔H1G1​⇔H1​），那么在 GG 中把 G1G1​ 的所有出现替换为 H1H1​ 后，得到的新公式 HH 与原公式 GG 逻辑等价（即 G⇔HG⇔H）。

例题：

求证：
P∨¬((P∨¬Q)∧Q)是永真公式

P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R;

好啦今天离散数学就到这吧，今天的量有点多，有点多啊啊啊啊啊。后续内容明天会连载出来，我得消化一下，bye~~祝你学习愉快

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