离散数学学习笔记----命题逻辑等值演算

命题逻辑等值演算

等值式

暴力方法1：判断两个公式A与B是否等职的方法，最直接就是用真值表法判断$A\leftrightarrow B $是否为重言式。

16组常用的重要等值式模式：

1. 双重否定律
   $A\iff \neg \neg A$
2. 幂等律
   $A\iff A\vee A$,
   $A\iff A\wedge A$
3. 交换律
   $A\vee B\iff B\vee A$,
   $A\wedge B\iff B\wedge A$
4. 结合律
   $(A\vee B)C\iff A\vee (B\vee C)$,
   $(A\wedge B)C\iff A\wedge (B\wedge C)$
5. 分配律
   $A\vee (B\wedge C)\iff (A\vee B)\wedge (A\vee C)$,
   $A\wedge (B\vee C)\iff (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$
6. 德摩根律
   $\neg (A\vee B)\iff \neg A\wedge \neg B$,
   $\neg (A\wedge B)\iff \neg A\vee \neg B$
7. 吸收律
   $A\vee (A\wedge B)\iff A$,
   $A\wedge (A\vee B)\iff A$
8. 零律
   $A\vee 1\iff 1$,
   $A\wedge 0\iff 0$
9. 同一律
   $A\vee 0\iff A$,
   $A\wedge 1\iff A$
10. 排中律
    $A\vee \neg A\iff 1$
11. 矛盾律
    $A\wedge \neg A\iff 0$
12. 蕴含等值式
    $A\to B\iff \neg A\vee B$
13. 等价等值式
    $A\leftrightarrow B\iff (A\to B)\wedge (B\to A)$
14. 假言异位
    $A\to B\iff \neg B\to \neg A$
15. 等价否定等值式
    $A\leftrightarrow B\iff \neg A\leftrightarrow \neg B$
16. 归谬论
    $(A\to B)\wedge (A\to \neg B)\iff \neg A$

一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公式不等值。

验证两个公式不等值的方法：

• 真值表法
• 观察法，即靠感觉代几个数进去试试。
• 先通过等值演算将它们化成容易观察真值的情况。

析取范式与合取范式

如何把命题公式化成等值的析取范式和合取范式：

• 利用蕴含等值式与等价等值式消去公式中的联结词$\to ,\leftrightarrow$。
• 利用双重否定律和德摩根律消除范式中如下情形：$\neg \neg A,\neg (A\wedge B),\neg (A\vee B)$
• 利用分配律消去如下情形：$A\vee (B\wedge C)$和$A\wedge (B\vee C)$

主析取范式的用途：

1. 秋宫是的成真赋值与成假赋值
2. 判断公式类型
3. 判断两个命题公式是否等值