离散数学-命题逻辑学习笔记-3

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今天我们继续命题逻辑的定理学习部分！

对偶原理

给定一个逻辑公式 AA，其中仅包含逻辑联结词 ∧∧（合取）、∨∨（析取）、¬¬（否定），以及可能的常数 TT（真）和 FF（假）。AA 的对偶公式 A∗A∗ 是通过以下替换得到的：

1. 将所有的 ∧替换为 ∨，

2. 将所有的 ∨ 替换为 ∧，

3. 将所有的 T 替换为 F，

4. 将所有的 F 替换为 T，

5. 保持所有的 ¬ 和命题变元不变。

从定义来看其实不难理解：就是将析取变为合取、合取变为析取，真变假、假变真

结合例子会更加明显：

1、A=P∧Q则其对偶公式为：A∗=P∨Q

2、A=P∨(Q∧¬R)则其对偶公式为：A∗=P∧(Q∨¬R)

定理一

A和A*是对偶式，P1 ,P2 ,…,Pn是出现于 A和A*中所有命题变元，于是 ¬A(P1 ,P2 , …,Pn )⇔A*(¬P1 , ¬P2 , …, ¬Pn ) 公式(1)

这意味着对原公式 A 取反，等价于将对偶式 A∗中的所有命题变元取反。

定理二

若 A < = > B ， 且 A ， B 为 命 题 变 元 P1 ,P2 ,…,Pn及联结词∧，∨， ¬构成的公式，则 A*⇔B* (对偶原理)

定理三

如 果 A = > B ， 且 A ， B 为 命 题 变 元 P1 ,P2 ,…,Pn及联结词∧，∨， ¬构成的公式，则 B*=>A*

联结词的扩充

一元运算：嘿嘿，不再定义额外的联结词（逃过一劫）

二元运算：

这里扩充了四个逻辑运算符，再加上之前的五个逻辑运算符，构成了命题演算中的所有联结词！

与非的性质

或非的性质

异或性质

联结词的完备集

设S是联结词的集合，用S中的联结 词表示的公式，可以等价地表示任何命题公式， 则称S是一个联结词完备集 (或全功能集合)

S是一个联结词 的完备集，且S中无冗余的联结词(即集合中不存在 可以被其中的其它联结词所定义的联结词)，则称S 为极小联结词完备集。

常用极小联结词的完备集{¬ ,∨}，{¬ , →}，{¬ , }也是极小完备集，{↑}，{↓}也是极小完 备集；

{∧,∨,→, ↔}及其子集不是完备集；

{¬, ∨, ∧} 是完备的（因为所有逻辑函数都可以用析取范式或合取范式表示）。

范式

命题变元或命题变元的否定称为文字； (2) 有限个文字的析取式称为简单析取式(基本和)， 有限个文字的合取式称为简单合取式(基本积)； (3) 由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范 式(Disjunctive Normal From)，由有限个简单析取 式构成的合取式称为合取范式(Conjunctive Normal From)。

性质：

(1) 一个文字既是一个析取范式又是一个合取范式；

(2) 一个析取范式为矛盾式，当且仅当它的每个简 单合取式是矛盾式；

(3) 一个合取范式为重言式，当且仅当它的每个简 单析取式是重言式

定理一

任一命题公式都存在着与之等值的析取范 式和合取范式

例题来挑战一下

求公式(P∧¬Q) ↔(P→R)的析取范式和合取范式。

答案：过程省略
析取范式：(P∧Q∧¬R)∨(P∧¬Q∧R)
合取范式：P∧(¬R∨¬Q)∧(¬P∨Q∨R)

这题的合取范式较为容易想到，析取范式有点难以捉摸（本人小菜，勿喷）挑战一下，燃尽了

主析取范式和主合取范式

(1)包含A中所有命题变元或其否定一次 仅一次的简单合取式，称为极小项；(2)包含A中所 有命题变元或其否定一次仅一次的简单析取式， 称为极大项；(3)由有限个极小项组成的析取范式 称为主析取范式； (4)由有限个极大项组成的合取 范式称为主合取范式。

极小项和极大项的性质

一般来说，对于n个命题变元，则应有 n的平方个不同的 极小项和 n的平方个不同的极大项。

性质1：没有两个不同的极小项是等价的，且每个极小项 只有一组真值指派使该极小项的真值为真，因此可 给极小项编码，使极小项为 T 和那组真值指派为对 应的极小项编码；

比如来说

对于变元顺序 P, Q, R：

极小项 P ∧ ¬Q ∧ R

编码：101

真值指派：P=1, Q=0, R=1

极小项 ¬P ∧ Q ∧ ¬R

编码：010

真值指派：P=0, Q=1, R=0

性质2：没有两个不同的极大项是等价的，且每个极大项 只有一组真值指派，使该极大项的真值为假。因此 可给极大项编码，使极大项为 F 的那组真值指派为 对应的极大项的编码，

 性质3：任意两极小项的合取必假，任意两个极大项的析 取必为真。极大项的否定是极小项，极小项的否定 是极大项

性质4：所有极小项的析取为永真公式，所有极大项的合取是永假公式。

主析取范式和主合取范式的存在性和唯一性

任何命题公式的主析取范式和主合取范式 存在且唯一 ，即任何命题公式都有且仅有一个与之 等价的主析取范式和主合取范式。

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