43、正向闭包与带逻辑约束的项重写研究

正向闭包与带逻辑约束的项重写研究

正向闭包的模块化

正向闭包在重写系统组合时的行为是一个重要的研究方向。首先，我们考虑正向闭包有限性的模块化，即当在不相交签名上组合系统时，正向闭包有限性这一属性是否能够得到保留。

有这样一个定理：设 $R_1$ 和 $R_2$ 分别是基于签名 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 的有限重写系统。如果 $\Sigma_1 \cap \Sigma_2 = \emptyset$，那么 $FC (R_1 \cup R_2) = FC(R_1) \cup FC (R_2)$。

下面是该定理的证明过程：
假设 $FC (R_1 \cup R_2) \supsetneq FC(R_1)\cup FC (R_2)$，那么必然存在一个 $k$，使得要么 $FC_k(R_1)$ 中的一个规则与 $R_2$ 中的一个规则重叠，要么 $FC_k(R_2)$ 中的一个规则与 $R_1$ 中的一个规则重叠。不失一般性，我们假设是前者。因此，在 $FC (R_1 \cup R_2)$ 中存在一个规则 $l \to r$，使得 $(l \to r) = (l_1 \to r_1) \leadsto_p (l_2 \to r_2)$，其中 $p \in FPos(r_1)$，$(l_1 \to r_1) \in FC_k(R_1)$，并且 $(l_2 \to r_2) \in R_2$。所以，$(l \to r) = \theta(l_1) \to \theta(r_1[r_2]_p)$，其中 $\theta = mgu(r_1|_p =? l_2)$。然而，由于 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 不相交，并且 $p$ 是 $r_1$ 中的非变