无人机集群部署熵评估方法

一种无人机集群监视覆盖的定量评估方法

摘要

小型无人机（UAVs）在广域监视方面具有天然优势。通过使无人机群的部署尽可能分散，是提升监视性能的有效方法。本文针对部署质量问题，提出并分析了一种新的度量指标——部署熵。部署熵的概念源于香农信息熵，通过描述每个子区域的情况，帮助操作人员全面了解目标区域的整体状况。无人机部署越分散，部署熵的值就越大。数值仿真结果表明，通过计算部署熵的值，可以有效评估无人机在广域内的分布情况，且计算负担较传统评估方法更小。

关键词 ：无人机，部署熵，Surveillance覆盖范围

1 引言

近年来，技术的进步推动了小型无人机在情报、监视与侦察任务中的应用。然而，小型无人机的设计以低成本为目标，因此配备的传感器质量较低且导航算法较差，导致单个无人机性能较弱。为此提出了集群无人机的概念以克服这些问题。单个小型无人机的能力可能不及当前正在研发的任何大型先进无人机，但通过集群无人机之间的通信，整个群体所表现出的行为和能力可以超过那些未采用无人机间通信的大型先进系统。

未来的侦察任务预计将由大量协作的无人和有人系统组成，仅需少量的人类操作员或用户在监督层面上同时管理多支异构车辆团队，以发现潜在目标。小型无人机特别适合执行此类任务，相较于大型飞行器，其优势包括卓越的隐蔽性、能够在广阔区域内部署大量无人机以构建分布式传感器或通信网络，以及相对较低的采购和运行成本[1]。从这一角度来看，小型无人机集群在监视任务中将发挥出色的作用。我们如何评估其监视性能呢？通常，监视覆盖是一个关键的评估指标。

对于当前的无人机系统而言，监视覆盖任务通常假设环境具有特定的简单形状，并让无人机沿简单的覆盖路径执行任务，直到发现潜在目标。然而，这种策略忽略了环境中存在的不确定性，例如突发威胁和移动威胁/目标的发生[2, 3]。区域监视任务需要在目标区域上对无人机集群进行动态时空构型管理，换句话说，要求时刻保持态势感知，以实现实时对目标区域的完整覆盖与侦察。无人机集群的空间分布决定了侦察性能的好坏。无人机部署得越分散，累积的监视区域就越大，操作员对目标区域的了解也就越清晰[4]。

从这一角度来看，追求无人机集群尽可能分散的分布是提高监视性能的有效方法。一旦一组无人机被部署用于区域监视，如何确保该部署提供了必要的覆盖水平？为了分析需求是否得到满足，需要一种能够表示部署质量的度量方法。因此，寻找一种可用的对小型无人机集群分布情况的定量测量方法是合理的，这有助于操作人员将无人机分散布置在目标区域，或为无人机集群制定策略以完成对目标区域的监视覆盖任务。

现有的方法是覆盖范围度量，其思路是将每架无人机的探测区域相加，然后除以感兴趣区域的总面积，可表示如下[5]：

$$
C = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i}{A}
$$

其中，$ C $ 是区域覆盖度；$ A_i $ 是无人机集群在第 $ i $ 个子区域的探测区域；$ A $ 是有兴趣区域的总面积；$ n $ 是子区域的数量。覆盖程度由 $ C $ 来衡量。若获得较大的 $ C $ 值，则可理解为无人机集群对感兴趣区域具有良好的覆盖。然而，此类方法受限于其计算开销。计算探测区域需要大量时间，且必须去除各无人机探测区域之间的冗余部分。此外，当无人机位置发生变化时，计算过程必须重复进行。因此，该方法无法立即提供评估结果，也无法适应不确定环境。本文的主要目标是提出一种新型定量评估方法，以较小的计算开销计算无人机集群的分布程度，从而满足实时监视覆盖感兴趣区域的需求。

2 郃署熵

本研究的动机源于一种任务场景，即一组具有通信距离限制的自主飞行器需要对一个较大的感兴趣区域执行协同监视任务。我们希望找到一种度量方法，用于衡量无人机在该区域内的分布分散程度或监视覆盖的优劣程度。

为了评估无人机部署的质量，可以采用适当的度量方法来揭示感兴趣区域的详细情况。将感兴趣区域划分为若干子区域是合理的。如果我们能找到一种合适的方法来提供每个子区域内无人机分布的信息，并通过一种机制将这些信息综合起来，就可以通过描述每个子区域的情况来获得对整个感兴趣区域的全面理解。

基于上述考虑，我们提出了一种新型定量评估方法——部署熵，以实现上述目标并减轻计算负担。部署熵的核心思想源于香农提出的信息熵。香农发明信息熵作为衡量信息的方法。类似地，我们提出部署熵用于衡量无人机的分布情况。

信息熵的形式为：

$$
H = -\sum_{i=1}^{n} p_i \ln p_i
$$

其中 $ p_i $ 表示系统处于其相空间中第 $ i $ 个单元的概率。一个显著特征是，任何使概率 $ p_1, p_2, …, p_n $ 趋于均等的变化都会增加量 $ H $ [6]。因此，如果我们假设 $ p_i $ 表示第 $ i $ 个子区域的分布，则无人机在目标区域内的整体部署情况可用 $ H $ 来表达。当各个子区域的分布相等时，可以得到最大 $ H $ 值。基于这一思想，部署熵的定义描述如下：

$$
H = -\sum_{i=1}^{n} p_i \ln p_i
$$

其中，

$$
p_i = \frac{\text{ratio} i}{\sum {k=1}^{n} \text{ratio}_k}
$$

$$
\text{ratio}_i = \frac{N_i}{S_i}
$$

$$
N_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} N_i
$$

$$
S_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} S_i
$$

$ N_i $ 是第 $ i $ 个子区域中的无人机数量；$ S_i $ 是第 $ i $ 个子区域的面积；$ \text{ratio} i $ 是第 $ i $ 个子区域中无人机数量与面积的比值；$ p_i $ 是第 $ i $ 个比值在所有比值之和中所占的单位比例；$ N {\text{total}} $ 是所有无人机的总数；$ S_{\text{total}} $ 是目标区域的总面积；$ n $ 是目标区域所包含的子区域数量。由于假设论证过程中涉及微分，因此自然对数底 $ e $ 更具实用性。量 $ H $ 具有一些有趣的性质，进一步证明其作为无人机或其他智能体部署合理度量的适用性。

定理1：

当且仅当每个 $ \text{ratio} i $ 等于 $ N {\text{total}} / S_{\text{total}} $ 时，量 $ H $ 将达到最大值。

证明 ：为了证明该定理，我们首先证明以下不等式的有效性：

$$
\ln x \leq x - 1, \quad x > 0
$$

给定以下假设：

$$
f(x) = \ln x - (x - 1)
$$

然后我们可以得到一阶微分结果：

$$
f’(x) = \frac{1}{x} - 1
$$

因此，当 $ x = 1 $ 时，$ f(x) = 0 $ 是 $ f(x) $ 的极值。

并且由于

$$
f’‘(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \quad (x > 0)
$$

该极值为最大值。容易证明：

$$
f’‘(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \quad (x > 0)
$$

通过这个不等式，更容易证明定理1。证明过程如下。

根据 $ p_i $ 的定义：

$$
p_i = \frac{\text{ratio} i}{\sum {k=1}^{n} \text{ratio} k}, \quad q_i = \frac{\text{ratio}_i}{\sum {k=1}^{n} \text{ratio} k}, \quad \sum {i=1}^{n} p_i = 1, \quad \sum_{i=1}^{n} q_i = 1
$$

结合不等式（8），可得：

$$
\ln \left( \frac{p_i}{q_i} \right) \leq \frac{p_i}{q_i} - 1
$$

然后，

$$
\sum_{i=1}^{n} p_i \ln \left( \frac{q_i}{p_i} \right) \leq \sum_{i=1}^{n} p_i \left( \frac{q_i}{p_i} - 1 \right) = \sum_{i=1}^{n} q_i - \sum_{i=1}^{n} p_i
$$

根据已知条件：

$$
\sum_{i=1}^{n} p_i = \sum_{i=1}^{n} q_i = 1
$$

然后，

$$
-\sum_{i=1}^{n} p_i \ln p_i \leq -\sum_{i=1}^{n} p_i \ln q_j
$$

因此，

$$
H \leq -\sum_{i=1}^{n} p_i \ln q_i
$$

当 $ p_i = q_i $ 时，上述公式中的等号成立。故

$$
\text{ratio} i = \text{ratio}_j = \frac{N_i + N_j}{S_i + S_j} = \frac{\sum {i=1}^{n} N_i}{\sum_{j=1}^{n} S_j} = \frac{N_{\text{total}}}{S_{\text{total}}}
$$

由此可见，定理1成立。因此，可以证明，当所有子区域具有均匀的量 $ H $ 时，可获得比率的最大值。

定理2：

量 $ H $ 是严格凸函数。

根据凸函数的定义，假设

$$
f(x_1, x_2, …, x_n) = f(x)
$$

对于每个小于1的正数 $ a $（$ 0 < a < 1 $），以及定义域内的任意两个向量 $ x $ 和 $ y $，如果

$$
f[a x + (1 - a)y] \geq a f(x) + (1 - a)f(y)
$$

则 $ f $ 被定义为凸函数。此外，如果

$$
f[a x + (1 - a)y] > a f(x) + (1 - a)f(y) \quad (x \neq y)
$$

$ f $ 是一个严格凸函数。

量 $ H $ 是一种严格凸函数的证明过程如下：

$$
\sum_{i=1}^{n} p_i = \sum_{i=1}^{n} q_i = 1; \quad (i = 1, 2, …, n)
$$

$$
H[a p + (1 - a)q] = -\sum_{i=1}^{n} [a p_i + (1 - a)q_i] \ln [a p_i + (1 - a)q_i]
$$

根据定理1以及已知上述表达式中后两项大于零（$ p_i \neq q_i $），可得

$$
H[a p + (1 - a)q] > a H(p) + (1 - a)H(q)
$$

因此，证明了量 $ H $ 具有严格的凸性。

根据定理2可知，当 $ \text{ratio} i $ 等于 $ N {\text{total}} / S_{\text{total}} $，$ p_i = 1/n $, $ a < b $ 时，则

$$
H_1(p_1, p_2, …, p_{n-1}, p_n - a, a) = -\sum_{i=1}^{n-1} p_i \ln p_i - (p_n - a) \ln (p_n - a) - a \ln a
$$

$$
H_2(p_1, p_2, …, p_{n-1}, p_n - b, b) = -\sum_{i=1}^{n-1} p_i \ln p_i - (p_n - b) \ln (p_n - b) - b \ln b
$$

$$
H_1 - H_2 < 0
$$

因此，$ \text{ratio}_i $ 越不均匀，量 $ H $ 的值就越小。由此可见，通过计算量 $ H $ 的值，可以评估无人机代理在目标区域内的分布情况。此外，利用量 $ H $ 还可以评估无人机监控覆盖的质量。

3 仿真结果

在本节中，我们展示了使用MATLAB生成的结果，以验证上述假设，即部署熵可以评估无人机的分布情况。建立了一个简单的区域监视场景的仿真，具体假设如下：50架无人机随机分布在100 × 100的二维区域内，如图1所示。红色‘+’代表无人机。利用Voronoi划分方法，将二维区域划分为10个子区域。

场景1：相同分区，不同部署

在本节中，我们提出一个仿真场景，用于计算在区域的相同分区下不同部署的量 $ H $ 值。共有5种部署方式：第一种和第五种是在相对较小的区域内进行随机分布；第二种和第四种部署中，无人机在整个区域内随机分布；第三种为近似均匀分布，即无人机在整个区域内分散布置。所有分布情况如图1、2、3、4和5所示。

将各个子区域的面积和无人机数量代入部署熵公式，可以得到量 $ H $ 的结果，如图6所示。从计算结果可以看出，近似均匀分布的场景获得最大的量 $ H $，而在相对较小区域内进行随机分布的场景则得到最小值。因此，在相对较小区域内采用随机部署方案可能会产生较大的感知较差区域，需要重新部署是必要的。并且，从整个区域的随机分布得到的 $ H $ 值接近于近似均匀分布给出的 $ H $ 值。因此，可以验证部署熵 $ H $ 能够衡量无人机在目标区域内的分布情况。无人机分布越分散，$ H $ 值就越大。因此，在部署无人机执行监视任务或实时调整无人机的侦察位置时，使用部署熵 $ H $ 为参考，即选择 $ H $ 值更大的策略。值得指出的是，在实际情况下，很难获得理论上的最大 $ H $ 值，在本仿真中表现为 $ H_{\text{max}} = 2.3026 $。原因是未采用将感兴趣区域划分为相等部分的策略。因此，对于每个子区域，可能会出现无人机的分数数量，而在实践中，无人机的数量只能是整数。因此，在实际案例中，我们只能获得最大值，而非理论上的最大值。

场景2：相同部署，不同分区

在本节中，我们提出一个仿真场景，用于计算在区域不同分区中相同无人机部署下的量 $ H $ 的值。仿真1中的分区作为参考，如图2所示。其他分区则生成自Voronoi方法，如图7所示。两种场景下的无人机分布相同。

从部署熵计算来看，第一个分区中 $ H $ 为 2.2482，另一个分区中 $ H $ 为 2.2489。这一差异表明，尽管无人机的分布相同，不同的分区策略仍会影响 $ H $ 的值。因此，在评估分布情况时，所有场景应采用相同的分区方法，否则难以反映无人机的监视覆盖情况。

场景3：相同部署，不同子区域

在本节中，我们主要关注在无人机分布完全相同的情况下，子区域数量不同时的量 $ H $ 的计算。假设无人机的分布与仿真2中的分布相同。本节中，目标区域被划分为5个部分，同样采用Voronoi划分方法，如图8所示。

将已知条件代入量 $ H $ 的公式，可得 $ H = 1.5831 $，而在包含10个分区的其他分区策略中，相同分布下的 $ H $ 值通常大于2。因此可以得出结论：在相同分布下，不同的分区策略可能导致 $ H $ 值产生显著差异。该结果可通过理论分析得到。当目标区域被划分为5个子区域时，量 $ H $ 的理论最大值为1.6094；而当划分为10个子区域时，量 $ H $ 的理论最大值为2.3026。当区域被划分为100个子区域时，其理论最大值为4.6052。因此，一般情况下，在相同分布下，目标区域划分的子区域数量 $ n $ 越多，$ H $ 的值越大。量 $ H $ 将会越大，相应地，对无人机监视覆盖的评估也越准确。

4 结论

我们研究了通过测量无人机分散程度来评估监视覆盖的问题。在此基础上，本文提出部署熵这一新概念，作为无人机执行监视任务时分布情况的定量度量指标。部署熵的特性使其成为衡量无人机分布的一种合理方法。一些仿真结果表明，部署熵能够在不同场景下估计无人机的分布情况：相同无人机部署下采用不同分区策略、相同分区策略下采用不同部署模型、均匀部署下不同数量的子区域等。总体而言，部署熵能够实时提供无人机分布信息，且无需大量计算负担，同时可作为制定无人机监视任务控制策略的决策依据。