42、前向闭包与有限变体属性的研究

前向闭包与有限变体属性的研究

1. 冗余性的更强概念

在规则的世界里，规则之间存在着实例关系。规则 $\rho_1 = l_1 → r_1$ 是规则 $\rho_2 = l_2 → r_2$ 的实例，当且仅当存在一个替换 $\sigma$，使得 $\sigma(l_2) = l_1$ 且 $\sigma(r_2) = r_1$，记作 $\rho_2 ⊒ \rho_1$ 或 $\rho_2 ⊒_{\sigma} \rho_1$（当替换 $\sigma$ 有重要意义时）。例如，规则 $f(x, x) → x$ 就是规则 $f(x, y) → x$ 的一个实例。

规则 $\rho$ 在集合 $R$ 中是冗余的，有两种情况：一是它在 $R$ 中严格冗余（即 $\rho$ 的每个基实例在 $R$ 中都严格冗余）；二是 $R$ 中存在规则 $\rho’$，使得 $\rho’ ⊒ \rho$。这里有一个引理：若 $R$ 是一个收敛的重写系统，且规则 $l → r$ 在 $R$ 中冗余，那么对于任何替换 $\theta$，规则 $\theta(l) → \theta(r)$ 在 $R$ 中也冗余。

2. 前向闭包

前向闭包是重写系统中的一个重要概念。对于重写系统 $R$ 中的两个规则 $\rho_1 = l_1 → r_1$ 和 $\rho_2 = l_2 → r_2$，以及 $r_1$ 中的位置 $p$，定义 $\rho_1 ⇝_p \rho_2 := \sigma(l_1 → r_1[r_2]_p)$，其中 $\sigma = mgu(r_1|_p =? l_2)$，这被称为 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 在位置 $p$ 的前向重叠。

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