39、基于解释和排序的项重写系统合流性反证方法

基于解释和排序的项重写系统合流性反证方法

1. 引言

合流性在项重写的众多领域中具有重要作用，是项重写的核心性质之一。目前，已有许多技术用于证明项重写系统（TRS）的合流性，并且自动证明合流性的领域也受到了越来越多的关注，同时出现了一些合流性证明器以及相关的竞赛。

对于自动合流性证明器来说，能够反证合流性同样重要，这样可以避免在无法证明合流性时进行无效的尝试。然而，与众多证明合流性的技术相比，反证合流性的技术相对较少。常见的反证非终止TRS合流性的方法是先构造两个可从同一项约简得到的项，然后证明它们不可合并，即不存在共同的约简结果。在这个过程中，选择合适的候选项以及证明项的不可合并性都至关重要。目前，证明项不可合并性的主要方法是使用树自动机进行近似，该方法已在CSI中实现。

本文提出了新的方法来证明给定的两个项 $s$ 和 $t$ 不可合并。第一种方法是给出一个解释，例如从项到自然数的映射，该解释在应用可用规则时保持不变，并且 $s$ 和 $t$ 的解释不同。第二种方法是给出一个排序 $>$，使得 $s > t$，并且从 $s$ 出发的可用规则是非递减的，从 $t$ 出发的可用规则是非递增的。这些方法通过多项式解释和递归路径排序来实现，实验表明，这些方法可以自动反证一些最先进的自动合流性证明器无法处理的项重写系统的合流性。

2. 预备知识

• 集合运算 ：两个集合 $A$ 和 $B$ 的乘积表示为 $A × B$，$A$ 的 $n$ 次笛卡尔积表示为 $A^n$ 或 $\Pi_{i∈I}A_i$。两个集合的不相交并集表示为 $A ⊎ B$。关系 $R$ 和 $S$ 的复合表示为