流形上的切空间

这是我学习微分流形的笔记，疏漏之处，在所难免。

切空间，算子，流形等概念都是经历好几个层次的抽象才形成的数学概念。对这些知识的理解与学习这些知识所花费的时间之间不是线性关系。如果不是做专业研究(做这个方向的一般也不会来优快云看博客), 知道怎么用，了解一下(也就是不求甚解)即可.
数学家写的书，诘屈聱牙。如果没有相关基础，读起来好似看天书一样。侯先生的书[1] 中对切空间等概念讲解得比较清晰(在中文参考书中)，好懂一点(相比于数学家的书)。侯先生的书是给搞相对论的那些人看的(大部分是讲物理方面的东西)，仅从中摘出相关内容，记录如下。

作用在$R^n$空间函数$f$上的线性微分算子

$R^n$空间中点$x$可以用向量表示，选定坐标系()后，这个向量可以用$n$个分量$x^i$表示。$x^i$是实数，与坐标的选取有关，而向量$x$本身与坐标选取无关。

在$R^n$空间中点$x$沿$\Delta x$方向位移，可微函数$f(x)$在$R^n$空间中点$x$沿$\Delta x$方向的一阶导数

$$\delta f=\sum _{i=1}^n{\Delta x}^i\frac{\partial }{\partial x^i}f$$

把上式等号右边中$f$之前算符看作一个作用在函数$f$上的泛函算子
$$\delta f=(\sum _{i=1}^n{\Delta x}^i\frac{\partial }{\partial x^i})(f)$$

$$\delta =\sum _{i=1}^n{\Delta x}^i{\partial }_i$$

方向导数$\delta$是作用在函数$f$ 上的微分算子，是沿位移向量$\Delta x$方向的 方向导数。

$\delta$本身与坐标系选取无关， 可以表示为沿坐标线方向的方向导数 ${\partial }_i$的线性组合。 $\Delta x^i$ 可看做方向导数 $\delta$ 的坐标分量，它正是位移向量 $\Delta x$的分量。

流形$M$上的线性微分算子

在流形$M$上做一条通过$p$点的曲线$x(t)$, 曲线$x(t)$可看做实数轴上线段$(-ϵ,ϵ)$到流形$M$上的可微映射

$$x:(-ϵ,ϵ)\to M$$

$$t\to x(t)\to M$$

利用此曲线$x(t)$定出一个过$p$点的方向。令$p=x(0)$.
对流形$M$上一个可微函数$f\in F_p(M)$,

在 曲线$x(t)$上，此函数为$f(x(t))$，则此函数在$p$点沿曲线的方向导数为

$$X_{p}f=\frac{d}{dt}f(x(t))$$

在$p$点邻域选局部坐标$x=(x^1,\cdots ,x^n)$

$$X_{p}f=\sum _{i=1}^n\frac{d{x}^i}{dt}\frac{\partial }{\partial x^i}f$$

如果令$t=x^i$，则得到沿坐标线方向的切向量 ${\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$
集合$ { \partial_{i}: i = 1, \cdots, n }$是切向量 $X_p$的坐标基矢。

$$\frac{d{x}^i}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x^i}{\Delta t}$$

切向量$X_p$的分量$ \frac{d x^{i} }{ dt}$ 就是 曲线$x(t)$在$p$点切向量的分量。

过$p$点所有切向量的集合构成 流形$M$在$p$点上的切空间$T_{p}M$

参考文献

[1] 候伯元, 候伯宇. 物理学家用微分几何. 科学出版社.