联络------------

这是本人学习微分流形的笔记，疏漏之处，在所难免

##联络

直观上讲，联络就是使得在流形上进行"微分"的手段.
####欧氏空间中方向导数.
设$v$是$p\in R^n$处的一个向量. $f$是$p$点邻域内的一个可微函数, 则方向导数$D_{v}f$为:
$$D_{v}f=li{m}_{t\to 0}\frac{f(p+tv)-f(p)}{tv}$$
设$X$是 $p$点邻域内的一个向量场, 则$X$可分解为 $n$个 $C^{\infty }$函数
$$X=\sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$
向量场$X$沿$v$的方向导数定义为
$$D_{v}X=(D_v{X}^1,\cdots ,D_v{X}^n)$$
即
$$D_{v}X=\sum _{i=1}^n{D}_v{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

如果$V$是$p$的邻域中一个向量场，使得$V(p)=v$,定义一个向量场$D_{v}X$

$$(D_{V}X)(p)=D_{v}X$$

满足以下属性
-(1) $ D_{fV + gW}X = fD_{V}X + gD_{W}X$
-(2) $ D_{V}(fX) = (D_{V} f)X + fD_{V}( X)$
-(3) $ D_{V}(X+Y) = D_{V}( X) + D_{V}(Y)$
其中$V,W,X,Y$ 是$R^n$ 中向量场，$f,g$ 是$R^n$　上函数

##$R^m$及其子流形上的联络
[4] 135
设$(x^i,\cdots ,x^m)$ 是欧氏空间$R^m$中点的笛卡尔坐标。 自然标架$\partial$