微分几何基础-优快云博客

Klein对几何的定义是: 存在一个空间E，以及作用在空间E上的变换群G，几何是研究在变换群G作用下空间E的不变性质。欧氏几何研究的是在欧氏运动下空间图形不变性质，微分几何研究的是在微分同胚变换下微分流形的不变性质。微分流形及其张量场是微分几何的主要研究对象[3]。

#如何刻画一条曲线

在三维欧氏空间 $E^{3}$ 中的曲线可以看作是某区间 $I⊂RI\subset R$ 到 $E^{3}$ 的一个同胚映射$ r: I \rightarrow E^{3}$, 也可以看作一个点随时间的变化而运动的轨迹。

刻画曲线通常是通过曲线上任意一个点的在空间的某一坐标系中的坐标值来实现. 假设 $E^{3}$ 的欧式空间有固定的右手单位正交标架. 欧式空间中的一条曲线可以表示为一个一元向量函数.

$r = r (t) = [x (t), y (t), z (t)]$

这是笛卡尔几何对曲线的定义。从上述定义可以看出，要想用数学解析方法刻画一条三维欧氏空间 $E^{3}$ 中的曲线，需要用到欧氏空间，标架，向量，向量函数等工具，下面就依次给出这些基本概念的定义。

三维欧氏空间

三维欧氏空间 $E^{3}$ 是一个非空集合,其中元素称为点, 这些点具有以下属性:

任意两个不同的点唯一地决定了连接它们的直线
不在一条直线上的任意三个不同的点唯一地决定了通过这三点的平面
$E^{3}$ 中存在不共面的四个不同的点
过直线外任意一点能且只能做一条直线与已知直线平行

向量

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中任意两个不同的点 $\in E^{3}$ 都可以连成一条直线段, 记为 $A B$ . 如果指定 $A$ 为起点, $B$ 为终点, $A B$ 称为有向线段. 所有相等的有向线段的集合称为一个向量.

标架

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中不共面的任意四个不同的点 $\in E^{3}$ , 可得三个不共面的向量 $O A, OB, OC$ , 则$ { O, OA, OB, OC }$称为 $E^{3}$ 中的一个标架.

基于标架 ${ O, OA, OB, OC \}$ , 三维欧氏空间 $E^{3}$ 中任意一点 $p$ 与三个实数构成的数组 ${ x, y, z \}$ 一一对应, 称为点 $p$ 关于标架 ${ O, OA, OB, OC \}$ 的坐标.

取三维欧氏空间 $E^{3}$ 中一个标架$ { O, i, j, k } $, 如$ i, j, k $ 是相互垂直, 并构成右手系的三个单位向量, 则标架$ { O, i, j, k }$ 是右手单位正交标架, 简称正交标架. 由正交标架给出的坐标系称为笛卡尔直角坐标系.

取三维欧氏空间 $E^{3}$ 中两个不同的正交标架$ { O, i, j, k }$ 和 $ { p, e_{1}, e_{2}, e_{3} }$, 则两者之间的关系为:

$Op = a_{1} i + a_{2}j + a_{3}k \\ e_{1} = a_{11} i + a_{12}j + a_{13}k \\ e_{2} = a_{21} i + a_{22}j + a_{23}k \\ e_{3} = a_{31} i + a_{32}j + a_{33}k$