bzoj 3611: [Heoi2014]大工程 （虚树+树形DP）

3611: [Heoi2014]大工程

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Description

国家有一个大工程，要给一个非常大的交通网络里建一些新的通道。 

我们这个国家位置非常特殊，可以看成是一个单位边权的树，城市位于顶点上。 

在 2 个国家 a,b 之间建一条新通道需要的代价为树上 a,b 的最短路径。

 现在国家有很多个计划，每个计划都是这样，我们选中了 k 个点，然后在它们两两之间 新建 C(k,2)条 新通道。

现在对于每个计划，我们想知道：

 1.这些新通道的代价和

 2.这些新通道中代价最小的是多少 

3.这些新通道中代价最大的是多少

Input

第一行 n 表示点数。

 接下来 n-1 行，每行两个数 a,b 表示 a 和 b 之间有一条边。

点从 1 开始标号。 接下来一行 q 表示计划数。

对每个计划有 2 行，第一行 k 表示这个计划选中了几个点。

 第二行用空格隔开的 k 个互不相同的数表示选了哪 k 个点。

Output

输出 q 行，每行三个数分别表示代价和，最小代价，最大代价。 

Sample Input

10
2 1
3 2
4 1
5 2
6 4
7 5
8 6
9 7
10 9
5
2
5 4
2
10 4
2
5 2
2
6 1
2
6 1

Sample Output

3 3 3
6 6 6
1 1 1
2 2 2
2 2 2

HINT

n<=1000000 

q<=50000并且保证所有k之和<=2*n 

Source

鸣谢佚名上传

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题解：虚树+树形DP

构建虚树应该没什么好说的了，关键就是树形DP。

对于每个点维护所选点到该点的最小值，最大值，路径和，以及该点子树中所选点的个数。

进行转移和更新答案即可。具体过程见代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 1000003
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf=1000000000000LL;
int n,m,k,point[N],nxt[N*2],v[N*2],c[N*2],st[N],pos[N];
int mi[21],fa[N][21],tot,top,a[N],deep[N],sz,mark[N]; 
LL len[N][21],sum[N],mx[N],mn[N],size[N],mnx,sumx,mxx;
void add(int x,int y)
{
	tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
	tot++; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
void dfs(int x,int f)
{
	deep[x]=deep[f]+1; pos[x]=++sz;
	for (int i=1;i<=20;i++) {
		if (deep[x]-mi[i]<0) break;
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		len[x][i]=len[x][i-1]+len[fa[x][i-1]][i-1];
	}
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) {
		if (v[i]==f) continue;
		fa[v[i]][0]=x; len[v[i]][0]=1;
		dfs(v[i],x);
	}
}
int cmp(int x,int y)
{
	return pos[x]<pos[y];
}
LL getlen(int x,int y)
{
	if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	int k=deep[x]-deep[y]; LL sum=0;
	for (int i=0;i<=20;i++)
	 if ((k>>i)&1) sum+=len[x][i],x=fa[x][i];
	if (x==y) return sum;
	for (int i=20;i>=0;i--) 
	 if (fa[x][i]!=fa[y][i]) {
	  sum+=len[x][i],sum+=len[y][i];
	  x=fa[x][i],y=fa[y][i];
     }
    sum+=len[x][0],sum+=len[y][0];
	return sum;
}
void build(int x,int y)
{
	if (x==y) return;
	tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; c[tot]=getlen(x,y);
	//cout<<x<<" "<<y<<" "<<c[tot]<<endl;
}
int lca(int x,int y)
{
	if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	int k=deep[x]-deep[y];
	for (int i=0;i<=20;i++)
	 if ((k>>i)&1) x=fa[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=20;i>=0;i--) 
	 if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
void dp(int x)
{
	mn[x]=inf; mx[x]=-inf; size[x]=0; sum[x]=0;
	LL siz=0; bool pd=false;
	for (int i=point[x];i;i=nxt[i]) {
		dp(v[i]); size[x]+=size[v[i]];
		mnx=min(mnx,mn[x]+mn[v[i]]+c[i]);
		mxx=max(mxx,mx[x]+mx[v[i]]+c[i]);
		mn[x]=min(mn[x],mn[v[i]]+c[i]); 
		mx[x]=max(mx[x],mx[v[i]]+c[i]);
		if (pd) sumx+=sum[x]*size[v[i]]+sum[v[i]]*siz+siz*size[v[i]]*c[i];
		sum[x]+=sum[v[i]]+size[v[i]]*c[i]; siz+=size[v[i]];
		pd=true;
	}
	if (!pd&&mark[x]) mn[x]=mx[x]=0,size[x]=1;
	else if (mark[x]) {
		mnx=min(mnx,mn[x]); mn[x]=0;
		mxx=max(mx[x],mxx);
		size[x]++; sumx+=sum[x];
       }
    //cout<<x<<" "<<mx[x]<<" "<<mn[x]<<" "<<sum[x]<<" "<<size[x]<<endl;
    point[x]=0;
}
void solve()
{
	scanf("%d",&k);
	for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%d",&a[i]),mark[a[i]]=1;
	sort(a+1,a+k+1,cmp);
	tot=0;  st[++top]=1;
	for (int i=1;i<=k;i++) {
		int now=a[i]; int f=lca(st[top],now);
		while (true) {
			if (deep[f]>=deep[st[top-1]]) {
				build(f,st[top--]);
				if (f!=st[top]) st[++top]=f;
				break;
			}
			build(st[top-1],st[top]); top--;
		}
		if (now!=st[top]) st[++top]=now;
	}
	while (top-1) build(st[top-1],st[top]),top--;
	mnx=inf; mxx=-inf; sumx=0;
	dp(1);
	printf("%lld %lld %lld\n",sumx,mnx,mxx);
	for (int i=1;i<=k;i++) mark[a[i]]=0;
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	mi[0]=1;
	for (int i=1;i<=21;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;
	for (int i=1;i<n;i++) {
		int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
	}
	dfs(1,0);
	scanf("%d",&m);
	memset(point,0,sizeof(point));
	memset(nxt,0,sizeof(nxt));
	for (int i=1;i<=m;i++) solve();
}