python与线性代数 线性方程组的解集

齐次线性方程组
齐次线性方程组(homogeneous systems)是指,$Ax = 0$,其中$A$是$m*n$矩阵而$0$是$R^m$中的零向量.这样的方程至少有一个解,即$x=0$,这个解称为它的平凡解(trival solution).而重要的是研究它是否有非凡解(nontrivial solution),即满足$Ax=0$的非零向量$x$.

齐次方程$Ax =0$有非凡解,当且仅当方程至少有一个自由变量.

齐次方程$Ax=0$总可表示为$Span\{v_1,...,v_p\}$,其中$v_1,...,v_p$是适当的解向量.
若唯一解释零向量,则解集就是$Span{0},
若方程仅有一个自由变量,解集是通过原点一条直线,
若有两个自由变量,解集是一个平面.

非齐次线性方程组
(nonhomogeneous systems)

设方程$Ax = b$对某个$b$是相容的,$p$为一个特解,则$Ax=b$的解集是所有形如$w = p + v_h$的向量的集,其中$v_h$是齐次方程$Ax=0$的任意一个解.