16、基因树与物种树的调和及偏序集森林扩展的生成

基因树与物种树的调和及偏序集森林扩展的生成

在生物学和数学的交叉领域，基因树与物种树的调和以及偏序集森林扩展的生成是两个重要的研究方向。下面将详细介绍这两方面的相关内容。

基因树与物种树的调和

在基因树与物种树的关系研究中，有一个重要的命题。对于一个立方图 (G)，存在一个大小为 (C) 的节点覆盖，当且仅当给定基因树 (TG) 时，存在一个 (TG) 的示例物种树 (S)，使得 (d(TG, S) \leq C(k + 1) + |V|)，其中 (k > |V|)。

在证明这个命题时，我们需要了解一些基本情况。示例物种树 (S) 对于 (TG) 必须包含每个标签 (ei) 和标签 (u) 的唯一副本，因为它们是在 (TG) 中仅出现两次的标签。图 (G) 的每条边 (e) 与两个顶点 (w) 和 (v) 相关联，所以 (e) 是树 (Tw) 和 (Tv) 的叶子。

需要注意的是，删除 (u) 时能导致最少重复次数的情况是在 (TG) 的左线上删除。根据引理 2，要么在左线出现 (|V|) 次重复，要么在右线出现 (2|V|) 次重复。如果在基因树 (TG) 的子树 (Tj) 中删除标签 (ei) 的一个出现（即 (ei) 是与顶点 (vj) 相关联的边），根据引理 4，在 (Tj) 中至少会出现 (k) 次重复，最多出现 (k + 1) 次重复。

• 充分性证明 ：如果 (C) 个顶点足以覆盖 (G) 中的所有边，那么在 (TG) 中最多会出现 (C(k + 1) + |V|) 次重复。设 (N = {vi,1, \cdots, vi,C}) 是节点覆盖中的顶点列表，那么 (E) 中每