25、图聚类与近有界误差概率集的研究

图聚类与近有界误差概率集的研究

1. 图聚类问题概述

在图论算法领域，检测固定密度簇是一个重要的研究方向。对于图 (G)，我们关注如何找到具有特定顶点数 (k’) 和边数 (f(k’)) 的子图。根据 (f(k’)) 的取值范围，有以下两种情况：

1.1 情况 IV

当 (\binom{k’}{2}-\frac{k’}{9} \leq f(k’) < \binom{k’}{2}-\frac{k’}{3}) 时，应用 (R_s)、(S_t) 和 (T_{\alpha}^{r,N(r)})，参数设置如下：
- (s = \lfloor\frac{1}{3}k’^{\frac{1}{4}}\rfloor - k)
- (t = 1)
- (\alpha = 1)
- (r = k’ - k - s - \lfloor\frac{k + s}{2}\rfloor)

1.2 情况 V

当 (\binom{k’}{2}-\frac{k’}{3} \leq f(k’) \leq \binom{k’}{2}) 时，应用 (R_s)、(S_t) 和 (T_{\alpha}^{r,N(r)})，参数设置如下：
- (s = 0)
- (t = 0)
- (\alpha = 1)
- (r = k’ - k)

通过这些参数可以构造图 (G’)，并且 (G’) 包含一个具有 (k’) 个顶点和至少 (f(k’)) 条边的子图，当且仅当 (G) 包含一个大小为 (k) 的团。

1.3 复杂度结论