3、几何计算中的高效更新策略与画廊守卫问题研究

几何计算中的高效更新策略与画廊守卫问题研究

在几何计算和组合优化领域，存在着诸多具有挑战性的问题，本文将深入探讨两个重要问题：一是基于不确定性的几何计算中的凸包更新优化算法；二是画廊守卫问题中的最大价值顶点守卫问题。

1. 凸包计算的更新优化算法

在几何计算中，对于不确定区域的凸包计算，更新优化算法是一个关键问题。首先，我们需要明确一些基本概念和限制条件。

• 区域限制 ：我们将区域限制为平凡区域或连通开放区域的闭包，并且要求任意两个非平凡区域的非空交集包含一个 $\epsilon$-球。
• 更新最优性 ：对于无限制的区域，不存在更新最优的算法。例如，存在一种情况，前 $n - 1$ 个更新区间对应的点在区域 $A$ 的水平投影左侧，而第 $n$ 个更新区间对应的点使得 $A$ 中没有点是最大的。如果先更新这个区间，$A$ 的状态可以仅通过一次更新确定，但由于 $n$ 是任意的，所以对于任意区域不存在 $c$-更新最优算法。

接下来，我们基于见证算法给出一个计算凸包的算法，该算法具有 3 - 更新最优性，并且这是最优的结果。

• 相关定义和引理

  • 定义 4 ：设 $F$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一组区域，$l$ 是一条直线，$l$ 将 $\mathbb{R}^2$ 分为三个区域：两个半平面 $(H_1, H_2)$ 和 $l$。如果 $H_1$ 或 $H_2$ 与 $F$ 中