9、蒙特卡罗估计的方差缩减与加速方法

蒙特卡罗估计的方差缩减与加速方法

在蒙特卡罗模拟中，为了提高估计的效率和精度，我们常常需要采取一些方法来控制和加速收敛。本文将介绍Rao - Blackwell化、去条件化以及多种加速方法，这些方法能够有效降低估计的方差，提升模拟的效果。

1. Rao - Blackwell化

Rao - Blackwell定理指出，如果$Y$是充分统计量，用条件期望替换估计量可以改善其方差，即$var(E[\delta(X)|Y ]) \leq var(\delta(X))$。这种利用条件期望来降低蒙特卡罗估计方差的技术被称为Rao - Blackwell化。

1.1 原理

设$\delta(X)$是$I = E_f[h(X)]$的一个估计量，若$X$能从满足$\int f^ (x, y) dy = f(x)$的联合分布$f^ (x, y)$中模拟得到，则新估计量$\delta^ (Y ) = E_f[\delta(X)|Y ]$在方差上优于$\delta(X)$，且偏差相同。不过，该结果仅在$\delta^ (Y )$能被显式计算时才有用。

1.2 示例

考虑计算$h(x) = exp(−x^2)$在$X \sim T(\nu, \mu, \sigma^2)$下的期望。标准学生t分布可表示为$X = \mu + \sigma\frac{\epsilon}{\sqrt{\xi/\nu}}$，其中$\epsilon \sim N(0, 1)$，$\xi \sim \chi^2_{\nu}$。通过以下代码可生成样本：