8、蒙特卡罗方法的收敛控制与加速

蒙特卡罗方法的收敛控制与加速

1. 引言

在蒙特卡罗估计中，中心极限定理可用于评估收敛情况。对于形如 $h_n = \frac{1}{n}\sum_{j = 1}^{n}h(X_j)$（$X_j \sim f(x)$）的估计量，在可积条件下，随机变量 $\sqrt{n}(h_n - I)$ 渐近正态，其中 $I = \int h(x)f(x)dx$。

然而，基于中心极限定理的正态置信区间存在局限性。通过迭代构建的置信区间在整体上作为置信带并不有效。因为该监测方法本质上是单变量的，在第 $k$ 次迭代时对估计值 $h_k$ 设定的置信界仅依赖于 $h_k$ 和此时的方差估计，忽略了迭代中的相关性结构。

我们需要对估计量序列的收敛性进行更全局的评估，这可视为二阶收敛评估，通常比原始评估更保守，需要更多的模拟次数。

2. 监测变化

评估蒙特卡罗估计序列变异性的简单方法是并行运行多个独立序列。虽然这种方法计算时间长，但比基于渐近近似的技术更容易推导且应用更广泛。

也可以对当前样本进行自助法抽样，这是一种近似但成本较低的评估变异性的方法。

示例 4.1 ：

x=matrix(h(runif(200*10^4)),ncol=200)
estint=apply(x,2,cumsum)/(1:10^4)
plot(estint[,1],ty="l",col=0,ylim=c(.8,1.2))
y=apply(estint,1,quantile,c(.025,.975))
polygon(c(1:10^4,