P5292 [HNOI2019 D2T1]校园旅行 题解

Description

传送门

Solution

真是只神题啊。

算法一

首先考虑一个 $O(m^2)$ 的算法。

令 $f_{i,j}$ 表示，是否存在一条以 $i$ 为起点，以 $j$ 为终点的标号回文路径。

转移式子非常显然。若 $f_{i,j}=1$，且存在边 $(u,i)(v,j)$ 使 $u,v$ 的权值同奇同偶，那么 $f_{u,v}=1$。

使用 SPFA 进行转移即可。不难发现每一对原图上的边都对复杂度贡献了 $O(1)$，且 SPFA 在本题中复杂度与边数线性相关，因此时间复杂度是 $O(m^2)$。

算法二

注意到，我们其实只关心首尾每一对极长 $01$ 段的奇偶性。例如，某条路径上的权值依次为 $00011110$，那么可以通过在某条边上多次徘徊将其变为回文串 $0001111000$。

考虑将原图中的某些没用的边去掉（即这些边无法改变奇偶性），将 $m$ 缩减到 $O(n)$ 的级别。此时套用算法一中的 $\text{dp}$ 就足以通过了。

将边分为同色边（即边两端的节点权值相同）以及异色边两类。

对于前者，我们考虑每一个同色边组成的连通块。若这个连通块是一张二分图，那么它就是个垃圾（两点间路径经过的点数的奇偶性确定），我们可以尝试破罐子破摔，在其 $\lceil$ 连通且垃圾 $\rfloor$ 的前提下使其边数最小——不难想到保留它的一棵生成树。若这张连通块不是二分图，那么它很优秀，于是可以在其 $\lceil$ 连通且优秀 $\rfloor$ 的前提下使其边数最小——不难想到保留它的一个生成树并在某个节点处加一个自环。

对于后者呢？不难发现，对于每个异色边组成的连通块都是个二分图，所以对于这些垃圾全部保留生成树即可。

边数为 $O(n)$ 级别，总复杂度 $O(n^2)$，本题被解决。