P3706 [SDOI2017]硬币游戏 题解

Description

有 $n$ 个人，第 $i$ 个人给出一个长度为 $m$ 的仅包含 A 和 B 的字符串 $s_i$。

扔若干次硬币，并记录下硬币落地时朝上的正反面情况。当一个人猜的序列在硬币序列中出现时，此人胜利，且扔硬币活动停止。

你需要对于每个 $i$，求出第 $i$ 个人获胜的概率。

$1\le n,m\le 300$，$s$ 中的元素两两不同。

Solution

为方便叙述，做出如下约定：

• 令字符串 $T$ 为 $i$ 获胜的终止串，当且仅当 $s_i$ 在 $T$ 中出现的位置前于任意其他 $s_j(i\ne j)$ 在 $T$ 中出现的位置。

• 令字符串 $T$ 为非终止串，当且仅当不存在 $s_i$ 是 $T$ 的子串。

若想要让第 $i$ 个人获胜，那么终止串必定会是一个非终止串 $s_0$ 加 $s_i$。

但是，随意挑选一个 $s_0$ 并在后面拼上 $s_i$，可能并不会让 $i$ 获胜。例如，当 $s_0=$bb 时，$s_1=$ba，$s_2=$ab时，虽然 ba 在 $s_0+s_1=$bbba 中出现，但 $s_2$ 出现在更加靠前的位置。

何时会出现这种情况呢？不难发现，若 $pr{e}_{i,}$