蓝桥杯垒骰子【矩阵加速dp】

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垒骰子

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「样例输入」
2 1
1 2

「样例输出」
544

「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 2ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。

注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>，不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

思路：设置dp[i][j]为第i个骰子朝上的面是j的方案数。我们可以先限制骰子的侧面是固定的。

显然有dp[i][j] = sigma(dp[i-1][k]) if(k->j == true).由于侧面方案数为4，那么在乘以4^n就可以了。

发现转移相同，用矩阵加速即可。

数据：

dp代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define ll o<<1
#define rr o<<1|1
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9+7;
void add(LL &x, LL y) {x += y; x %= MOD;}
int a[7] = {0, 4, 5, 6, 1, 2, 3};
LL dp[2][7];
bool Map[7][7];
LL pow_mod(LL a, int n)
{
    LL ans = 1LL;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
    CLR(Map, false);
    while(m--) {
        int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
        Map[u][v] = Map[v][u] = true;
    }
    for(int i = 1; i <= 6; i++) dp[1&1][i] = 1LL;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= 6; j++) {
            dp[i&1][j] = 0LL;
            for(int k = 1; k <= 6; k++)
                if(!Map[a[j]][k]) add(dp[i&1][j], dp[(i-1)&1][k]);
        }
    }
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 6; i++) add(ans, dp[n&1][i]);
    cout << ans * pow_mod(4, n) % MOD << endl;
    return 0;
}

矩阵加速代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define ll o<<1
#define rr o<<1|1
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9+7;
void add(LL &x, LL y) {x += y; x %= MOD;}
int a[7] = {0, 4, 5, 6, 1, 2, 3};
struct Matrix {
    LL a[7][7];
};
Matrix multi(Matrix x, Matrix y)
{
    Matrix z; CLR(z.a, 0);
    for(int i = 1; i <= 6; i++)
    {
        for(int k = 1; k <= 6; k++)
        {
            if(x.a[i][k] == 0) continue;
            for(int j = 1; j <= 6; j++)
                add(z.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % MOD);
        }
    }
    return z;
}
Matrix res, ori;
Matrix Pow(int n)
{
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            res = multi(res, ori);
        ori = multi(ori, ori);
        n >>= 1;
    }
}
bool Map[7][7];
LL pow_mod(LL a, int n)
{
    LL ans = 1LL;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
    CLR(Map, false);
    while(m--) {
        int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
        Map[u][v] = Map[v][u] = true;
    }
    CLR(ori.a, 0LL); CLR(res.a, 0LL);
    for(int i = 1; i <= 6; i++) {
        res.a[i][i] = 1LL;
        for(int j = 1; j <= 6; j++) if(!Map[i][a[j]])
            ori.a[i][j]++;
    } Pow(n-1);
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 6; i++)
        for(int j = 1; j <= 6; j++)
            add(ans, res.a[i][j]);
    cout << ans * pow_mod(4, n) % MOD << endl;
    return 0;
}