dsu on tree

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DSU on Tree 是一种算法，常用于解决树上的无修改区间众数类问题，如CF 600E。算法通过预处理重儿子、维护共享颜色数组以及分别处理轻儿子和重儿子子树来实现。虽然总复杂度为O(n*log^2 n)，但详细证明涉及到树链剖分的性质，理解起来有一定难度。

正好看到某up主讲了这个就学习一下，up主视频：不分解的AgOH

主要用于解决树上无修改区间众数类问题，比较典型的：CF 600E

证明：自为风月马前卒
算法的主要流程为：

预处理出重儿子
所有子树共享一个记录颜色数量的数组

对于每个点优先计算其轻儿子子树内部的答案，并在回溯的时候将轻儿子及其自身所包含的子树的颜色信息删除。
然后计算重儿子其子树内部的答案，并且保留重儿子及其子树的颜色信息。
然后暴力将所有轻儿子的所有信息加入到颜色数组中，计算答案。

由于一些轻重链剖分中的一些性质，使得总的复杂度在 $O(n*log_2n)$ ，这个我不会证，当时没有好好学习树链剖分的证明233。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1e5+7;
struct Edge{
    int v,next;
}edge[maxn<<1];
int head[maxn],top;
void init(int n){
    top=0;
    memset(head,-1,sizeof(int)*n);
}
void add(int u,int v){
    edge[top].v=v;
    edge[top].next=head[u];
    head[u]=top++;
}
int col[maxn];
int siz[maxn],son[maxn];

void dfs(int u,int fa){
    int maxx=0;
    siz[u]=1;
    int v;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        v=edge[i].v;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        if(siz[v]>maxx){
            maxx=siz[v];
            son[u]=v;
        }
    }
}
int Son,W[maxn];
ll sum;
int maxx;
void countt(int u,int fa,int val){
    col[W[u]]+=val;
    if(col[W[u]]>maxx) maxx=col[W[u]],sum=W[u];
    else if(col[W[u]]==maxx) sum+=W[u];
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(v==fa||v==Son) continue;
        countt(v,u,val);
    }
}
void del(int u,int fa){
    --col[W[u]];
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(v==fa) continue;
        del(v,u);
    }
}
ll ans[maxn];
void calc(int u,int fa,bool f){
    int v;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){//计算轻儿子的子树对轻儿子的贡献;
        v=edge[i].v;
        if(v==fa||v==son[u]) continue;
        calc(v,u,false);
    }
    if(son[u]) calc(son[u],u,true),Son=son[u];//计算重儿子的子树对重儿子的贡献;
    countt(u,fa,1);//将轻儿子及其子树信息加入到总颜色数组计算u节点的所有信息;
    Son=0,ans[u]=sum;

    if(!f) del(u,fa),sum=0,maxx=0;//若u节点为轻儿子则删除所有信息,否则保留信息;
}

int main(){
    int n,u,v;
    scanf("%d",&n);
    init(n+2);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&W[i]);
    for(int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v),add(v,u);
    }
    dfs(1,0);
    maxx=0,sum=0;
    calc(1,0,1);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%I64d ",ans[i]);
    return 0;
}