Sightseeing tour POJ - 1637（混合图欧拉回路）

最新推荐文章于 2020-02-16 12:53:03 发布

cy41

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分类专栏：图论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/chenyume/article/details/102663786

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这篇博客探讨了如何判断一张包含有向边和无向边的图是否存在欧拉回路。通过将无向边转化为有向边，并确保所有点的入度等于出度，可以构建一个最大流问题来解决此问题。通过建立源点和汇点，调整无向边的方向，并运行最大流算法，若源点的所有出边满流，则说明存在欧拉回路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：POJ-1637
题意：给出一张包含有向边与无向边的图，询问是否存在欧拉回路。
参考自：kuang bin
对于无向边，我们先随便指定一个方向，把所有边都变为有向边，那么对于有向图来说，存在欧拉回路的条件为所有点的入度等于出度。
并且给无向边随便指定一个方向的话，是不会改变一个点的出度入度之差的奇偶性的。
那么如果对于这张新图来说，所有点的出度入度之差为偶数的话是不是才可能通过改变无向边的方向使得图存在欧拉回路吧。
如何确定哪些边需要改变方向呢，首先原图中的有向边是肯定无法改变方向的，我们只可以改变无向边的方向。
先给出结论，建立源点s，汇点t，对于原来的无向边给定的方向，连有向边，边权为1，对于入度大于出度的点，连接汇点t，边权为入度出度之差的一半，对于入度小于出度的点，源点s连接该点，边权为出入度之差的一半，然后跑最大流，如果s的出边全部满流则说明存在欧拉回路。

首先原图中的边权为1表示该边只能被正向或反向，与s连接的点，的边权容量为x，表示该点的出边最多有x条边可以反向，与t相连的点，表示该点的入边最多可以有x条边反向。那么是不是说明如果满足了所有的需要反向的需求就说明可以有一种构造出欧拉回路的方案。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=209;
const int maxm=4e3+7;
int head[maxn],top;
struct Edge{
    int v,w,next;
}edge[maxm];
void init(int n){
    top=0;
    memset(head,-1,sizeof(int)*n);
}
void add(int u,int v,int w){
    edge[top].v=v;
    edge[top].w=w;
    edge[top].next=head[u];
    head[u]=top++;
}

int s,t;
const int inf=0x3f3f3f3f;
queue<int> q;
int d[maxn],maxflow;
bool bfs(){
    memset(d,0,sizeof(d));
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(s);
    int v,w;
    d[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
            v=edge[i].v;
            w=edge[i].w;
            if(w&&!d[v]){
                q.push(v);
                d[v]=d[u]+1;
                if(v==t) return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int dinic(int u,int flow){
    if(u==t) return flow;
    int res=flow,k;
    int v,w;
    for(int i=head[u];(i!=-1)&&res;i=edge[i].next){
        w=edge[i].w,v=edge[i].v;
        if(w&&d[v]==d[u]+1){
            k=dinic(v,min(res,w));
            if(!k) d[v]=0;
            edge[i].w-=k;
            edge[i^1].w+=k;
            res-=k;
        }
    }
    return flow-res;
}

vector<pair<int,int> > dan,shuang;
int zongru[maxn],zongchu[maxn];

int main(){
    int n,m,cas,u,v,d;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init(n+2);
        for(int i=1;i<=n;++i) zongru[i]=zongchu[i]=0;
        dan.clear(),shuang.clear();
        s=0,t=n+1;
        for(int i=1;i<=m;++i){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
            if(d) dan.push_back(make_pair(u,v));
            else shuang.push_back(make_pair(u,v));
            ++zongru[v],++zongchu[u];
        }
        bool f=1;
        for(int i=1;i<=n;++i) if(abs(zongru[i]-zongchu[i])&1) f=0;
        if(f){
            for(int i=0;i<shuang.size();++i)
                add(shuang[i].first,shuang[i].second,1),add(shuang[i].second,shuang[i].first,0);
            for(int i=1;i<=n;++i)
                if(zongru[i]>zongchu[i]) add(i,t,(zongru[i]-zongchu[i])/2),add(t,i,0);
                else if(zongru[i]<zongchu[i]) add(s,i,(zongchu[i]-zongru[i])/2),add(i,s,0);
            int flow=0;
            maxflow=0;
            //cout<<"hello"<<endl;
            while(bfs())
                while(flow=dinic(s,inf)) maxflow+=flow;
            f=1;
            for(int i=head[s];i!=-1;i=edge[i].next)
                if(edge[i].w) f=0;
            printf("%s\n",(f?"possible":"impossible"));
        }
        else{
            printf("impossible\n");
        }
    }

    return 0;
}