G. Path Queries (dsu)

本文介绍了一道关于无根树的路径查询问题,其中路径长度定义为路径上最大边权。提供了两种解决方案:一是利用边权排序与并查集维护连通块大小,复杂度为O(n * log^2 n);二是采用点分治策略,复杂度为O(n * log^2 n * log^2 n)。

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题目链接:G. Path Queries
题意:给定一颗无根树,带边权,定义两点间的路径长度为该路径上的最大边权,q次询问 q i q_i qi,询问点对数 ( u , v ) , u < v (u,v),u<v (u,v),u<v,u到v的路径长度 < = q i <=q_i <=qi

两种做法:

  1. 将路径权值从小到大排序,询问排序,然后用并查集维护连通块的size,对于询问 q i q_i qi,将边权小于等于他的路径加入树中,相当于并查集连边,那么一个连通块对于询问 q i q_i qi的贡献就是 C s i z 2 C_{siz}^2 Csiz2。n,m同阶,复杂度为 O ( n ∗ l o g 2 n ) O(n*log_2n) O(nlog2n)
  2. 直接点分治,考虑路径跨越重心和以重心为根,先将所有路径大混合到一起,排序,计算一次,同时顺便计算不跨越重心的路径,这样算出来是会有重复的信息,比如处于同一颗子树内部的路径,故还需要对每个子树再跑一次将子树的信息剔除掉,复杂度 O ( n ∗ l o g 2 n ∗ l o g 2 n ) O(n*log_2n*log_2n) O(nlog2
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