列相关matrix的消元特征

列相关matrix的消元特征

xyz

| x1  y1  z1 |   

| x2  y2  z2 |    

| x3  y3  z3 |  

假设其中有z1=x1+y1,z2=x2+y2,z3=x3+y3这种简单的线性相关性。

那么第一次消元后的matrix为：

x'y'z'

| x1  y1  z1 |   

| x2-x1*x2/x1  y2-y1*x2/x1  z2-z1*x2/x1 |    

|x3-x1*x3/x1   y3-y1*x3/x1  z3-z1*x3/x1 |  

GO

x'y'z'

| x1  y1  z1 |   

| 0  y2-y1*x2/x1  z2-z1*x2/x1 |    

|0   y3-y1*x3/x1  z3-z1*x3/x1 |  

因为这样得到了一个主元，因为列空间是线性相关的，所以理论上它将只存在一个主元，即需要满足如下关系：

{ y2-y1*x2/x1} /{y3-y1*x3/x1}={z2-z1*x2/x1}/{z3-z1*x3/x1}

这样才能形成梯形阶matrix

将上面的关系两边化简有：

{ y2*x1-y1*x2} /{y3*x1-y1*x3}={z2*x1-z1*x2}/{z3*x1-z1*x3}

因为有关系z1=x1+y1,z2=x2+y2,z3=x3+y3：

所以上面等式右边的值分子：

{z2*x1-z1*x2}

={(x2+y2)*x1-(x1+y1)*x2}

={y2*x1-y1*x2}

可以发现与左边分子相同。

同理{z3*x1-z1*x3}

={(x3+y3)*x1-(x1+y1)*x3}

={y3*x1-y1*x3}

可以发现与左边分母相同。

所以可以发现假设是正确的。